a) Ta có \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\) ⇒ hai đoạn thẳng \(A H\) và \(C K\) cùng vuông góc với BD, nên \(A H / / C K\).

Trong hình bình hành \(A B C D\), ta có \(A D / / B C\). Vì \(H\) thuộc \(A D\) và \(K\) thuộc \(B C\), nên \(A K / / H C\).

Vậy tứ giác \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(A H C K\) là hình bình hành.

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\). Vì \(A H C K\) là hình bình hành, hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra \(I\) cũng là trung điểm của AC.

Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường — gọi giao điểm đó là \(O\). Vậy \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).

Do \(I\) là trung điểm của \(A C\) (vừa chứng minh ở trên), nên \(I\) trùng với \(O\). Mà \(O\) là trung điểm của \(B D\), nên \(I B = I D\).

→ Kết luận: \(I B = I D .\)

a) Ta có \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\) ⇒ hai đoạn thẳng \(A H\) và \(C K\) cùng vuông góc với BD, nên \(A H / / C K\).

Trong hình bình hành \(A B C D\), ta có \(A D / / B C\). Vì \(H\) thuộc \(A D\) và \(K\) thuộc \(B C\), nên \(A K / / H C\).

Vậy tứ giác \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(A H C K\) là hình bình hành.

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\). Vì \(A H C K\) là hình bình hành, hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra \(I\) cũng là trung điểm của AC.

Trong hình bình hành \(A B C D\), hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường — gọi giao điểm đó là \(O\). Vậy \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).

Do \(I\) là trung điểm của \(A C\) (vừa chứng minh ở trên), nên \(I\) trùng với \(O\). Mà \(O\) là trung điểm của \(B D\), nên \(I B = I D\).

→ Kết luận: \(I B = I D .\)

Trong tam giác \(A B C\), hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\). Theo tính chất của trọng tâm, ta có:

\(G \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{theo}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp}; B G : G M = C G : G N = 2 : 1.\)

Gọi \(P\) là trung điểm của \(G B\) và \(Q\) là trung điểm của \(G C\). Khi đó:

\(G P = P B \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} G Q = Q C .\)

Xét các vectơ trong tam giác:

• Vì \(M\) là trung điểm của \(A C\) nên \(\overset{\rightarrow}{A M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A C}\).
• Vì \(N\) là trung điểm của \(A B\) nên \(\overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A B}\).
• Trọng tâm \(G\) thỏa mãn \(\overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A M} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A N}\) (hoặc theo tỉ số trung tuyến).

Ta cần chứng minh \(P Q M N\) là hình bình hành, tức là \(P Q / / M N\) và \(P Q = M N\).

Ta có \(P , Q\) lần lượt nằm trên các đường trung tuyến \(B M , C N\), và vì \(P , Q\) là trung điểm của \(G B , G C\) nên \(\overset{\rightarrow}{G P} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{G B}\), \(\overset{\rightarrow}{G Q} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{G C}\).

Theo tính chất trọng tâm, \(\overset{\rightarrow}{G B} = - 2 \overset{\rightarrow}{G M}\) và \(\overset{\rightarrow}{G C} = - 2 \overset{\rightarrow}{G N}\). Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{G P} = - \overset{\rightarrow}{G M} , \overset{\rightarrow}{G Q} = - \overset{\rightarrow}{G N} .\)

Do đó, hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{P Q}\) và \(\overset{\rightarrow}{M N}\) song song và bằng nhau về độ dài, vì:

\(\overset{\rightarrow}{P Q} = \overset{\rightarrow}{G Q} - \overset{\rightarrow}{G P} = \left(\right. - \overset{\rightarrow}{G N} \left.\right) - \left(\right. - \overset{\rightarrow}{G M} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{M N} .\)

Vậy \(P Q / / M N\) và \(P Q = M N\), nên tứ giác \(P Q M N\) là hình bình hành.

Cho hình bình hành \(A B C D\). Vì \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên \(A , B , E\) thẳng hàng và \(A B = B E\). Vì \(C\) là trung điểm của \(D F\) nên \(D , C , F\) thẳng hàng và \(D C = C F\).

Ta có \(A B / / C D\) (tính chất hình bình hành), mà \(A B\) là một nửa của \(A E\) và \(C D\) là một nửa của \(D F\), nên \(A E / / D F\). Mặt khác, trong hình bình hành \(A D / / B C\). Do đó, hai cặp cạnh đối \(A E / / D F\) và \(A D / / E F\) song song, suy ra tứ giác \(A E F D\) là hình bình hành.

Tương tự, vì \(A B / / C D\) và \(B\) là trung điểm của \(A E\), \(C\) là trung điểm của \(D F\), nên \(B F / / A C\). Mà trong hình bình hành \(A B / / C F\) cũng đúng, do đó \(A B F C\) có hai cặp cạnh đối song song, suy ra \(A B F C\) là hình bình hành.

Xét các trung điểm của \(A F , D E , B C\):

• \(B\) là trung điểm của \(A E\);
• \(C\) là trung điểm của \(D F\);
• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, gọi là \(O\).

Khi đó, điểm \(O\) cũng chính là trung điểm của \(A F\) và \(D E\). Thật vậy, trong hình bình hành \(A E F D\), hai đường chéo \(A F\) và \(D E\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên trung điểm của \(A F\) và \(D E\) trùng nhau tại \(O\). Mặt khác, trong hình bình hành \(A B C D\), \(O\) là trung điểm của \(B C\).

Vậy các trung điểm của \(A F , D E , B C\) trùng nhau.

Cho hình bình hành ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AD // BC. Ta có E thuộc AB, F thuộc CD nên EF // AD (vì EF nối trung điểm hai cạnh AB và CD song song với hai cạnh còn lại của hình bình hành). Mặt khác, trong hình bình hành ta luôn có AB // CD và AD // BC, mà E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AE // DF. Vậy AEFD có hai cặp cạnh đối song song nên AEFD là hình bình hành.

Tương tự, xét tứ giác AECF: vì E là trung điểm AB và F là trung điểm CD, ta có AE // CF (vì AE nằm trên AB và CF nằm trên CD, mà AB // CD) và AC là cạnh chung, nên AECF cũng có hai cặp cạnh đối song song, do đó AECF là hình bình hành.

Từ AEFD là hình bình hành, ta suy ra EF = AD (hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau). Từ AECF là hình bình hành, ta suy ra AF = EC.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, khi đó O là trung điểm của AC và BD nên OA = OC. Đường thẳng qua O cắt AB tại M và CD tại N. Ta xét hai tam giác OAM và OCN, có OA = OC (vì O là trung điểm AC), góc OAM = góc OCN (so le trong vì AB // CD) và góc AOM = góc CON (đối đỉnh). Do đó, ΔOAM = ΔOCN. Suy ra OM = ON, tức là O là trung điểm của MN. Mặt khác O cũng là trung điểm của BD. Vậy hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác MBND là hình bình hành.

I think life in city is very interesting and modern but it's very noisy and crowded. Anyway, i'd like to live in the countryside. First, life in the countryside is very interesting for me because i like the silence and i love the air too, it's very fresh. Second, the people in countryside is very friendly and hospitable, i like that. oh, i have a fact about the people in countryside, it's the people in countryside when express feelings then they'll give that person some gift like cookies, candy,... of and I also enjoy the quiet nights, when I can see many stars in the sky. Living in the countryside helps me feel close to nature and enjoy a healthy life. that end