Xét tam giác ABG có: NA=NC; PB=PG => PN là đường trung bình của tam giác ABG ⇒PN=1/2 AG (1) => PN//AG (2) Xét tam giác ACG có: MA=MC; QC=QG => QN là đường trung bình của tam giác ACG ⇒QM=1/ 2 AG (3) => QM//AG (4) Từ (2) và (4) => PN//QM Từ (1) và (3) ⇒PN=QM=1/ 2 AG => PQMN là hình bình hành

Vậy PQMN là hình bình hành( điều phải chứng minh )

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

a) Ta có : tứ giác ABCD là hình bình hành

Suy ra AD= BC

Mà E là trung điểm của AD , F là trung điểm của BC

Suy ra AE= DE = BF = CF

Xét tứ giác EBFD có :

BF//ED(BC// AD)

BF = ED ( chứng minh trên )

Suy ra tứ giác EBFD là hình bình hành

Vậy EBFD là hình bình hành

b) từ O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD hay là giao điểm của AC và BD

Suy ra O là trung điểm của BD hay 3 điểm B, O, D thẳng hàng

Ta có : tứ giác EBFD là hình bình hành ( theo a)

Suy ra BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD

Suy ra O là trung điểm của EF

Suy ra 3 điểm E,O,F thẳng hàng

Vậy E,O,F thẳng hàng

a) Ta có: AH vuông góc BD,CK vuông góc BD nên AH // CK

Xét tam giác ADH và tam giác CBK có :

Góc AHD = góc CKB = 90 độ

AD = BC ( hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)

Góc ADH = góc CBK ( hai góc so le trong )

Suy ra tam giác ADH = tam giác CBK ( ch - gn)

Suy ra AH = CK ( hai cạnh tương ứng )

Xét tứ giác AHCK có :

AH=CK

AH//CK

Suy ra AHCK là hình bình hành

Vậy AHCK là hình bình hành ( điều phải chứng minh )

b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm

Mà I là trung điểm của HK

Suy ra I là trung điểm của AC

Lại có : ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID

Vậy IB = ID( điều phải chứnh minh )

Vì ABCD là hình bình hành nên :

OA = OC ,OB = OD

AB = CD, AB // CD

Xét tam giác OAM và tam giác OCNcó :

Góc BAC = góc ACD (so le trong)

OA =OC

Góc AOM = góc CON( hai góc đối đỉnh )

Suy ra : tam giác OAM= tam giác OCN( góc cạnh góc )

Do đó AM =CN ( hai cạnh tương ứng )

Ta có :

AB=CD

Suy ra : AB-AM=CD-CN =)) MB = ND (1)

Lại có :

AB//CD

Suy ra MB//ND(2)

Từ 1 và 2 suy ra MBND là hình bình hành

Vậy tam giác OAM = tam giác OCN ; MBND là hình bình hành ( điều phải chứng minh )

a) Vì ABCD là hình bình hành nên :

AB=CD, AB// CD

+)Mà E , F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, CD nên:

AE=EB=AB; DF=FC=CD

Suy ra : AE=EB=DF=FC

+)Xét tứ giác AEFD có :

AE//DF( vì AB//CD)

AE=DF(chứng minh trên )

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành

+)Xét tứ giác AECF có :

AE //FC ( vì AB//CD)

AE=FC ( chứng minh trên )

Suy ra AECF là hình bình hành

Vậy tứ giác AEFD và tứ giác AECF là hình bình hành ( điều phải chứng minh)

b) Vì AEFD là hình bình hành nên : EF=AD

Vì AECF là hình bình hành nên : AF= EC

Vậy EF = AD, AF = EC ( điều phải chứng minh )