a) Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên ∠ ADB = ∠ CBD( 2 ∠ so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     ∠ AHD = ∠ CKB( =90 độ)

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

∠ ADH = ∠ CBK ( vì ∠ ADB = ∠ CBD)

Do đó :tam giác AHD = tam giác CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có: AH, CK cùng vuông ∠ với DB nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\) nên \(A H C K\) là hình bình hành.( điều phải chứng minh)

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\)và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\).( điều phải chứng minh)

Vậy IB = ID.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) (giả thiết) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta A B C\).

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) có: \(G M = G P\) và \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Do đó tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên là hình bình hành.( điều phải chứng minh)

Vậy tứ giác PQMN là hình bình hành

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên ta có:

+)Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) nên \(O A = O C\), \(O B = O D\).

+ )\(A B\) // \(C D\) nên \(A M\) // \(C N\) suy ra ∠ OAM = ∠ OCN(hai góc so le trong).

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

        ∠ OAM = ∠ OCN( chứng minh trên)

        \(O A = O C\) (chứng minh trên)

    ∠ AOM = ∠ CON(hai góc đối đỉnh)

Do đó : tam giác OAM = tam giác OCN  (g.c.g).

Suy ra \(A M = C N\) (hai cạnh tương ứng).

mà \(A B = C D\) (chứng minh trên);

\(A B = A M + B M\); \(C D = C N + D N\).

Suy ra \(B M = D N\).

Xét tứ giác \(M B N D\) có:

        \(B M\) // \(D N\) (vì \(A B\) // \(C D\))

        \(B M = D N\) (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên ta có:

+)Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) nên \(O A = O C\), \(O B = O D\).

+ )\(A B\) // \(C D\) nên \(A M\) // \(C N\) suy ra ∠ OAM = ∠ OCN(hai góc so le trong).

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

        ∠ OAM = ∠ OCN( chứng minh trên)

        \(O A = O C\) (chứng minh trên)

    ∠ AOM = ∠ CON(hai góc đối đỉnh)

Do đó : tam giác OAM = tam giác OCN  (g.c.g).

Suy ra \(A M = C N\) (hai cạnh tương ứng).

mà \(A B = C D\) (chứng minh trên);

\(A B = A M + B M\); \(C D = C N + D N\).

Suy ra \(B M = D N\).

Xét tứ giác \(M B N D\) có:

        \(B M\) // \(D N\) (vì \(A B\) // \(C D\))

        \(B M = D N\) (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.