a,Vì AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K
Nên ta có: CK//AH (vì cùng vuông góc với BD)
Vì AB//CD (2 cạnh đối của hình bình hành) nên ta có:
^ABD=^BDC (2 góc so le trong)
Hay ^ABH=^CDK
Xét Δ CKD và ΔAHB ta có:
^CKD=^AHB=90°
AB=CD (2 cạnh đối của hình bình hành ABCD)
^CDK=^ABH
Suy ra : Δ CKD= Δ AHB (cạnh huyền-góc nhọn)
=>CK=AH (2 cạnh tương ứng)
Xét tứ giác AHCK ta có:
CK//AH
CK=AH
Suy ra:Tứ giác AHCK là hình bình hành (điều phải chứng minh)
Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành
b,Vì Δ CKD= Δ AHB (theo a) nên KD=HB (2 cạnh tương ứng)
Lại có: IK=IH (vì I là trung điểm của HK)
Suy ra: IK+KD=IH+HB
Hay ID=IB
=>IB=ID (điều phải chứng minh)
Vậy IB=ID

a, Vì E là trung điểm của AD nên ta có: ED=1/2AD
Vì F là trung điểm của BC nên ta có :BF=1/2BC
Mà AD=BC (2 cạnh đối của hình bình hành)
=> 1/2AD=1/2BC
Hay ED=BF
Lại có :AD//BC
Suy ra: ED//BF
Xét tứ giác EBFD ta có:
ED=BF
ED//BF
Suy ra :Tứ giác EBFD là hình bình hành (điều phải chứng minh)
Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành
b,Vì EBFD là hình bình hành nên 2 đường chéo BD,EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
=> O là trung điểm của EF
Suy ra : 3 điểm E,O,F thẳng hàng (điều phải chứng minh)
Vậy 3 điểm E,O,F thẳng hàng

Vì 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra:GM=1/2GB
(1)
GN=1/2GC
Mà P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC nên ta có :
GP=1/2GB
(2)
GQ=1/2GC
Từ 1 và 2 suy ra :GM=GP
GN=GC
Xét tứ giác PQMN ta có:
GM=GP
GN=GC
Suy ra : Tứ giác PQMN là hình bình hành (điều phải chứng minh)
Vậy tứ giác PQMN là hình bình hành

Vì B là trung điểm của AE nên ta có: BE=AB (1)

Vì C là trung điểm của DF nên ta có: CF=CD (2)

Mà AB=CD (2 cạnh đối của hình bình hành) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra: AB=BE=CD=CF

Suy ra: AB+BE=CD+CF

Hay AE=DF

Lại có: AB//CD

Hay AE//DF

Xét tứ giác AEFD ta có

AE=DF

AE//DF

Suy ra :Tứ giác AEFD là hình bình hành (điều phải chứng minh)

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành

Ta có: AE//DF

Hay AB//CF

Xét tứ giác ABFC ta có:

AB//CF

AB=CF (theo a)

Suy ra :Tứ giác AEFD là hình bình hành (điều phải chứng minh)

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành
b, Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
Hay G là trung điểm của cả AF và DE (1)
Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm của mỗi đường
Hay G là trung điểm của cả AF và BC (2)
Từ 1 và 2 suy ra : 3 đoạn thẳng AF,DE,BC đều có G là trung điểm
Vậy các trung điểm của 3 đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau

Ta có: AB//CD (2 cạnh đối của hình bình hành)
suy ra: ^BAC=^ACD
Hay ^MAO=^NCO
Vì O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên ta có: OA=OC
Xét ΔOAM và ΔOCN ta có:
^MAO=^NCO (chứng minh trên)
OA=OC (chứng minh trên)
^MOA=^NOC (2 góc đối đỉnh)
Suy ra: ΔOAM=Δ OCN (g.c.g) (điều phải chứng minh)
Vậy Δ OAM=ΔOCN
Suy ra :OM=ON (2 cạnh tương ứng)
Vì O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên ta có: OB=OD
Xét tứ giác MBND ta có:
OM=ON
OB=OD
Suy ra: Tứ giác MBND là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) (điều phải chứng minh)
Vậy tứ giác MBND là hình bình hành

a,Ta có :AB//CD (2 cạnh đối của hình bình hành)
Hay AE//DF
Vì E là trung điểm của AB nên ta có :EA=EB=1/2AB
Vì F là trung điểm của CD nên ta có :FD=FC=1/2CD
Mà AB=CD ( 2 cạnh đối của hình bình hành)
suy ra: 1/2AB=1/2CD
Hay AE=DF
Xét tứ giác AEFD ta có :
AE//DF
AE=DF
Suy ra: Tứ giác AEFD là hình bình hành (điều phải chứng minh)
Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành
Ta có: 1/2AB=1/2CD (chứng minh trên)
suy ra:AE=FC
Lại có:AB//CD (chứng minh trên)
Hay AE//FC
Xét tứ giác AECF ta có:
AE//FC
AE=FC
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành( điều phải chứng minh)
Vậy tứ giác AECF là hình bình hành
b,Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên ta có: EF=AD (điều phải chứng minh)
Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên ta có:AF=EC (điều phải chứng minh)
Vậy EF=AD,AF=EC