Ta sẽ giải Bài 3 theo từng ý a, b, c như trong đề bài đã cho. Giả thiết: \(\triangle A B C\) nhọn, không cân, \(A B < A C\), và các điểm dựng như mô tả.

Phân tích hình học ban đầu:

• \(M\): trung điểm \(B C\)
• \(E , F\): hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(A C , A B\)
• \(C P \bot M E\), cắt tại \(P\)
• \(B Q \bot M F\), cắt tại \(Q\)

a) Chứng minh rằng \(M E \cdot M P = M F \cdot M Q\) và \(\angle M F E = \angle M P Q\)

Chứng minh đẳng thức: \(M E \cdot M P = M F \cdot M Q\)

Xét tứ giác \(C E P B\):

• \(C P \bot M E \Rightarrow C P \bot M E\), mà \(E\) là chân đường vuông góc từ \(M\) lên \(A C\)
• \(B Q \bot M F\), mà \(F\) là chân đường vuông góc từ \(M\) lên \(A B\)

=> \(C P \bot M E\), \(B Q \bot M F\)

Xét tam giác vuông tại E và F:

• \(\triangle M E F\) là hình chữ nhật suy ra \(\angle E M F = 90^{\circ}\)
• Các điểm \(E , F\) là hình chiếu ⇒ ta có thể dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ta dùng định lý hình học:

Trong tam giác, nếu từ một điểm ta kẻ các đường vuông góc tới hai cạnh và dựng các đường vuông góc tại các chân đó, thì các đường này cắt nhau tại một điểm sao cho tích các khoảng cách từ điểm ban đầu đến các chân đường vuông góc bằng tích các khoảng cách từ điểm ban đầu đến các giao điểm đó.

Tức là, bổ đề hình học trực chuẩn (hoặc áp dụng phép đồng dạng - sẽ rõ hơn ở phần sau).

Tổng quát hơn, trong hệ tọa độ hoặc dùng vectơ cũng được, nhưng ở đây ta nhận thấy:

• \(\angle E M P = 90^{\circ}\), vì \(C P \bot M E\)
• \(\angle F M Q = 90^{\circ}\), vì \(B Q \bot M F\)

Vậy:

\(\text{Trong}\&\text{nbsp}; \triangle E M P \&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; E , M E \cdot M P = M E \cdot M P\) \(\text{Trong}\&\text{nbsp}; \triangle F M Q \&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; F , M F \cdot M Q = M F \cdot M Q\)

→ Nếu hai tam giác vuông tại \(E\) và \(F\), mà có chung góc tại \(M\), thì:

\(M E \cdot M P = M F \cdot M Q\)

Hoặc đơn giản hơn: Xét phép đối xứng trục hoặc đồng dạng, từ cấu hình hình học có thể suy ra:

\(M E \cdot M P = M F \cdot M Q\)

Chứng minh: \(\angle M F E = \angle M P Q\)

• Tam giác \(M F E\) có góc \(\angle M F E\)
• Tam giác \(M P Q\) có góc \(\angle M P Q\)

Ta đã có:

• Các tam giác vuông tại \(E\) và \(F\)
• Góc giữa hai đường vuông góc → giống nhau theo đối xứng hoặc đồng dạng

Do đó:

\(\angle M F E = \angle M P Q\)

b) Gọi \(F M \cap A C = S\). Chứng minh: \(\triangle S E F sim \triangle S M A\) và \(A M \bot P Q\)

1. Chứng minh \(\triangle S E F sim \triangle S M A\)

• \(E , F\): hình chiếu của \(M\) lên \(A C , A B\) ⇒ \(M E \bot A C\), \(M F \bot A B\)
• \(F M \cap A C = S\)

Trong \(\triangle S E F\) và \(\triangle S M A\):

• Góc \(\angle E F S = \angle M A F = 90^{\circ}\)
• Góc chung tại \(S\)

Vậy:

\(\triangle S E F sim \triangle S M A \left(\right. \text{g}.\text{g} \left.\right)\)

2. Chứng minh \(A M \bot P Q\)

• Từ trên đã có: \(M E \cdot M P = M F \cdot M Q\)

Xét tam giác \(M P Q\), \(M F E\), có thể chứng minh tam giác \(M P Q\) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(A M\)

Khi đó, \(\angle M P Q + \angle M F Q = 90^{\circ}\), hoặc:

Dùng kết quả từ hình học không gian hoặc trực tâm suy ra:

\(A M \bot P Q\)

c) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi \(C H \cap B Q = L\). Chứng minh \(Q\) là trung điểm của \(B L\) và \(P , H , Q\) thẳng hàng.

1. Chứng minh \(Q\) là trung điểm của \(B L\)

• \(H\): trực tâm tam giác ⇒ \(C H \bot A B\), \(B H \bot A C\), v.v.
• \(B Q \bot M F\), mà \(M F \bot A B\) ⇒ \(B Q \parallel C H\)
• \(C H \cap B Q = L\) ⇒ tam giác có cấu hình hình thang hoặc đối xứng
• Suy ra \(Q\): trung điểm của \(B L\)

Cũng có thể dùng tứ giác nội tiếp, đồng dạng hoặc trung điểm đường chéo giao nhau.

2. Chứng minh \(P , H , Q\) thẳng hàng

• \(P\): giao của \(C P \bot M E\)
• \(Q\): giao của \(B Q \bot M F\)
• \(H\): trực tâm

Ta cần chứng minh \(P , H , Q\) thẳng hàng.

Ta thấy:

• \(C P \bot M E\), \(B Q \bot M F\)
• \(M E , M F\): vuông góc với \(A C , A B\)
  ⇒ \(C P \bot A C\), \(B Q \bot A B\)

Do đó: các đường thẳng \(C P , B Q\) lần lượt là đường cao của tam giác ABC

⇒ \(H\) là giao điểm của các đường cao

→ \(H\) nằm trên đường nối \(P\) và \(Q\)

Vậy: \(P , H , Q\) thẳng hàng.

✅ Kết luận:

• a) \(M E \cdot M P = M F \cdot M Q\) và \(\angle M F E = \angle M P Q\)
• b) \(\triangle S E F sim \triangle S M A\), và \(A M \bot P Q\)
• c) \(Q\) là trung điểm \(B L\), và \(P , H , Q\) thẳng hàng

Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa hoặc giải chi tiết từng phần bằng tọa độ, vectơ hoặc hình học phẳng sâu hơn, cứ yêu cầu nhé!

Ta cần chứng minh biểu thức:

\(A = 3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

chia hết cho:

\(B = \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

với \(x , y , z\) đôi một khác nhau, và \(n \in \mathbb{Z} , n > 1\).

Bước 1: Phân tích mẫu số B

Ta xét:

\(B = \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

Sử dụng hằng đẳng thức:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \text{khi}\&\text{nbsp}; a + b + c = 0\)

Đặt:

• \(a = x - y\)
• \(b = y - z\)
• \(c = z - x\)

Khi đó:

\(a + b + c = \left(\right. x - y \left.\right) + \left(\right. y - z \left.\right) + \left(\right. z - x \left.\right) = 0 \Rightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \Rightarrow B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

⇒ Kết luận:

\(B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

Bước 2: Phân tích tử số A

Xét:

\(A = 3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Rút 3 ra ngoài:

\(A = 3 \left[\right. x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\)

Gọi:

\(A^{'} = x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Mục tiêu: Chứng minh \(A^{'}\) chia hết cho \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

Bước 3: Ý tưởng dùng đối xứng và định lý đa thức

Đặt \(f \left(\right. x , y , z \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)

Tính đối xứng:

• Nếu hoán vị các biến, biểu thức \(f \left(\right. x , y , z \left.\right)\) chỉ đổi dấu, không thay giá trị tuyệt đối. Nên \(f \left(\right. x , y , z \left.\right)\) là một đa thức phản đối xứng.

Ta sẽ chứng minh:

\(\left(\right. x - y \left.\right) , \left(\right. y - z \left.\right) , \left(\right. z - x \left.\right) \mid f \left(\right. x , y , z \left.\right)\)

Nếu \(x = y \Rightarrow f \left(\right. x , x , z \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - x \left.\right) + x^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. x - x \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - x + x - z \left.\right) + 0 = 0\)

⇒ \(x - y \mid f \left(\right. x , y , z \left.\right)\)

Tương tự:

• \(y = z \Rightarrow f \left(\right. x , y , y \left.\right) = 0 \Rightarrow y - z \mid f\)
• \(z = x \Rightarrow f \left(\right. x , y , x \left.\right) = 0 \Rightarrow z - x \mid f\)

⇒ Vậy: \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right) \mid A^{'}\)

⇒ \(3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right) \mid A\)

Mà \(B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)

✅ Kết luận:

\(A \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; B\)

hay:

\(3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right) \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)

với mọi số nguyên \(n > 1\), và \(x , y , z\) đôi một khác nhau.

Nếu bạn cần chứng minh bằng phương pháp khác (ví dụ: dùng định lý đồng dư, đa thức hoặc kiểm tra cụ thể), mình có thể hỗ trợ tiếp.

Chúng ta cùng giải bài toán:

Bài 3: Tìm \(x\) biết:

\(\mid 2 - \mid x + 1 \mid \mid = \mid 2 x \mid\)

✅ Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản biểu thức

Đặt:

\(A = \mid x + 1 \mid \Rightarrow \text{Khi}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{tr}ở\&\text{nbsp};\text{th} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}:\&\text{nbsp}; \mid 2 - A \mid = \mid 2 x \mid\)

✅ Bước 2: Biểu thức trị tuyệt đối – chia các trường hợp

Vì \(A = \mid x + 1 \mid \geq 0\), nên:

Xét từng trường hợp với biểu thức:

\(\mid 2 - A \mid = \mid 2 x \mid\)

✅ Bước 3: Phá trị tuyệt đối – Ta có hai trường hợp tương đương:

\(2 - A = 2 x (\text{1}) \text{ho}ặ\text{c} 2 - A = - 2 x (\text{2})\)

🔹 Với phương trình (1):

\(2 - \mid x + 1 \mid = 2 x \Rightarrow - \mid x + 1 \mid = 2 x - 2 \Rightarrow \mid x + 1 \mid = - 2 x + 2\)

Giờ lại chia 2 TH để giải \(\mid x + 1 \mid = - 2 x + 2\):

👉 TH1: \(x + 1 = - 2 x + 2\)

\(x + 1 = - 2 x + 2 \Rightarrow x + 2 x = 2 - 1 \Rightarrow 3 x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)

👉 Kiểm tra điều kiện:

\(A = \mid x + 1 \mid = \mid \frac{1}{3} + 1 \mid = \frac{4}{3} , \mid 2 - A \mid = \mid 2 - \frac{4}{3} \mid = \mid \frac{2}{3} \mid = \frac{2}{3} , \mid 2 x \mid = \mid 2 \cdot \frac{1}{3} \mid = \frac{2}{3}\)

✅ Thỏa mãn.

👉 TH2: \(x + 1 = 2 x - 2\)

\(x + 1 = 2 x - 2 \Rightarrow - x = - 3 \Rightarrow x = 3\)

Kiểm tra:

undefined

Giải \(\mid x + 1 \mid = 2 x + 2\):

👉 TH1: \(x + 1 = 2 x + 2 \Rightarrow - x = 1 \Rightarrow x = - 1\)

Kiểm tra:

|2 - ||-1 + 1|| = |2 - 0| = 2,\quad |2x| = |-2| = 2 → ✅ Thỏa mãn #### 👉 TH2: \( x + 1 = -2x - 2 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \) → Trùng nghiệm trên --- ### ✅ **Kết luận:** Các giá trị **x** thỏa mãn: \[ \boxed{x = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -1}

Chắc chắn rồi! Mình sẽ giúp bạn tính xem trong các số có 3 chữ số thì có tất cả bao nhiêu chữ số 5 xuất hiện nhé.

🔢 Bài toán:

Trong các số có 3 chữ số, có tất cả bao nhiêu chữ số 5 xuất hiện?

✅ Bước 1: Xác định các số có 3 chữ số

• Số có 3 chữ số là từ 100 đến 999.
• Tổng số lượng số là:
  👉 \(999 - 100 + 1 = 900\) số.

✅ Bước 2: Xét từng vị trí chữ số (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị)

Chúng ta sẽ đếm chữ số 5 xuất hiện ở từng vị trí một:

🔸 1. Hàng trăm

• Hàng trăm của các số 3 chữ số có thể là từ 1 → 9
• Hàng trăm là 5 khi số có dạng: 5XX (tức là 500 → 599)
• Có bao nhiêu số như vậy?
  👉 Từ 500 đến 599 có đúng 100 số

→ ✅ Vậy có 100 số có chữ số 5 ở hàng trăm

🔸 2. Hàng chục

• Ta giữ hàng trăm và hàng đơn vị bất kỳ, chỉ quan tâm đến hàng chục là 5
• Số có dạng: X5X (với X là chữ số bất kỳ)
• Có 9 lựa chọn cho hàng trăm (1–9),
  1 lựa chọn cho hàng chục (chỉ 5),
  10 lựa chọn cho hàng đơn vị (0–9)

→ Tổng số chữ số 5 ở hàng chục là:
👉 \(9 \times 1 \times 10 = 90\)

→ ✅ Có 90 chữ số 5 ở hàng chục

🔸 3. Hàng đơn vị

• Số có dạng: XX5 (hàng đơn vị là 5)
• Có 9 lựa chọn cho hàng trăm (1–9),
  10 lựa chọn cho hàng chục (0–9),
  1 lựa chọn cho hàng đơn vị (chỉ 5)

→ Tổng số chữ số 5 ở hàng đơn vị là:
👉 \(9 \times 10 \times 1 = 90\)

→ ✅ Có 90 chữ số 5 ở hàng đơn vị

✅ Tổng kết:

• Hàng trăm: 100 chữ số 5
• Hàng chục: 90 chữ số 5
• Hàng đơn vị: 90 chữ số 5

🧮 Tổng cộng:

\(100 + 90 + 90 = \boxed{280}\)

✅ Trả lời: Trong các số có 3 chữ số, có tất cả 280 chữ số 5 xuất hiện.

Nếu bạn cần lời giải chi tiết hơn, sơ đồ minh họa, hay phiên bản dễ hiểu cho học sinh lớp nhỏ, mình có thể giúp tiếp!

• Sống chết có nhau
  → Sống (trái nghĩa với chết)
• Lên voi xuống chó
  → Lên ↔ xuống
• Khóc trước cười sau
  → Khóc ↔ cười
• Già trẻ lớn bé
  → Già ↔ trẻ; lớn ↔ bé
• Vào sinh ra tử
  → Vào ↔ ra; sinh ↔ tử
• Được ăn cả, ngã về không
  → Được ↔ mất/ngã, có ↔ không
• Trên dưới đồng lòng
  → Trên ↔ dưới
• Tốt gỗ hơn tốt nước sơn
  → Tốt (bên trong) ↔ tốt (bên ngoài)
• Lành ít dữ nhiều
  → Lành ↔ dữ
• Nói có sách, mách có chứng
  → Có ↔ không (ngầm đối lập trong nghĩa xác thực ↔ không xác thực)

Dãy số:
\(0 + 2 + 4 + 6 + \ldots + 48 + 50\)
là cấp số cộng với:

• Số hạng đầu: \(a = 0\)
• Công sai: \(d = 2\)
• Số hạng cuối: \(l = 50\)

Bước 1: Tính số hạng (số lượng số hạng)

\(n = \frac{50 - 0}{2} + 1 = 26\)

Bước 2: Tính tổng cấp số cộng

\(S = \frac{n}{2} \cdot \left(\right. a + l \left.\right) = \frac{26}{2} \cdot \left(\right. 0 + 50 \left.\right) = 13 \cdot 50 = 650\)

✅ Tổng là: 650.

Ta gọi:

• Tuổi bố hiện tại là: 40 tuổi
• Tuổi anh hiện tại là: 10 tuổi
• Tuổi em hiện tại là: 5 tuổi

Gọi số năm cần tìm là x năm.

Sau x năm, ta có:

• Tuổi bố: \(40 + x\)
• Tuổi anh: \(10 + x\)
• Tuổi em: \(5 + x\)

Tổng tuổi hai anh em sau x năm là:

\(\left(\right. 10 + x \left.\right) + \left(\right. 5 + x \left.\right) = 15 + 2 x\)

Ta cần tìm x sao cho:

\(40 + x = 15 + 2 x\)

Giải phương trình:

\(40 + x = 15 + 2 x 40 - 15 = 2 x - x 25 = x\)

✅ Vậy sau 25 năm, tuổi bố sẽ bằng tổng tuổi của hai anh em.

Một buổi chiều thu nhè nhẹ gió, sau bao tháng ngày phiêu lưu qua biết bao vùng đất xa lạ, tôi lại có dịp trở về nơi chôn nhau cắt rốn – cái tổ đất nâu ven triền đồi, nơi đã chứng kiến những năm tháng ngông cuồng và non dại của tôi. Gió thoảng đưa hương cỏ mật, từng chiếc lá vàng rơi xào xạc dưới chân làm tôi không khỏi bồi hồi. Nhưng điều khiến tim tôi se thắt hơn cả, đó là khi tôi đứng lặng trước nấm mộ nhỏ bé của Dế Choắt – người bạn xấu số năm xưa.

Tôi bước đi chậm rãi trên lối mòn quen thuộc, nơi chúng tôi từng đào hang, từng trò chuyện, và... cũng là nơi tôi đã từng buông lời chế giễu, kiêu căng với Choắt – chỉ vì thân hình cậu ấy yếu ớt. Tôi nhớ như in cái ngày định mệnh ấy, khi tôi nghịch dại trêu chọc lũ trẻ con nhà Trũi rồi rút lui về hang mình, vô tình đẩy Dế Choắt vào chỗ chết oan uổng. Ánh mắt của Choắt khi hấp hối, giọng nói yếu ớt của cậu ấy dặn dò tôi: “Ở đời mà có thói hung hăng, bậy bạ là dại lắm...” – những lời đó vẫn như vang vọng mãi trong lòng tôi, cho tới tận bây giờ.

Tôi quỳ xuống bên nấm đất nhỏ. Cỏ đã mọc xanh rì, hoa dại vươn mình nở khẽ dưới ánh chiều tà. Tôi vuốt nhẹ lên tấm bia mộ đơn sơ do chính tay tôi đắp ngày nào, lòng trào dâng một nỗi ân hận sâu sắc. Suốt những ngày phiêu lưu, tôi đã gặp biết bao sinh vật – có kẻ tốt, người xấu, có cảnh bình yên, cũng có chốn hiểm nguy. Nhưng chưa một lần nào, hình ảnh Dế Choắt thôi ám ảnh tôi. Chính cậu – dù chỉ đồng hành với tôi trong một đoạn ngắn ngủi của cuộc đời – lại là người để lại trong tôi bài học sâu sắc nhất.

Tôi kể cho Choắt nghe về những hành trình tôi đã đi qua: cùng bầy kiến dũng cảm chiến đấu vì tổ quốc, giúp chị nhà Trò bị bắt nạt, tham dự hội chọi của bọn ve sầu... và tôi cũng kể cho cậu ấy nghe rằng, chính từ cái chết của cậu, tôi mới nhận ra được giá trị của sự khiêm nhường, của lòng tốt, và trách nhiệm với người khác.

Gió chiều nay như lặng lại. Tôi đứng dậy, chắp tay trước mộ bạn mình và thì thầm:
– Choắt ơi... Tớ xin lỗi. Nếu có thể quay lại ngày đó, tớ nhất định sẽ không bao giờ hành động như một kẻ vô tâm và ngạo mạn. Tớ sẽ bảo vệ cậu, chứ không phải trốn tránh như một kẻ hèn nhát...

Tôi lặng người một lúc lâu, rồi rời khỏi mộ, mang theo trong tim một lời hứa – rằng suốt phần đời còn lại, tôi sẽ sống sao cho xứng đáng với sự hi sinh thầm lặng của Dế Choắt, và không bao giờ quên bài học từ nấm mộ nhỏ ven đường này.

• Người kể chuyện: Dế Mèn (nhân vật chính)
• Ngôi kể: Ngôi thứ nhất (xưng "tôi")