\(x^2-2mx+4m-4=0\)

Phương trình có \(\Delta=\left(-2m\right)^2-4.1.\left(4m-4\right)=4m^2-16m+16=\left(2m-4\right)^2\ge0\forall m\)

⇒ Phương trình có 2 nghiệm với mọi m.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(x_1+x_2=2m\);

\(x_1.x_2=4m-4\)

Theo đề bài ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 8 = 0\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 8 = 0\)

\(\left(\right. 2 m \left.\right)^{2} - 2. \left(\right. 4 m - 4 \left.\right) - 8 = 0\)

\(4 m^{2} - 8 m + 8 - 8 = 0\)

\(4 m^{2} - 8 m = 0\)

\(4 m \left(\right. m - 2 \left.\right) = 0\)

\(\left[\begin{array}{l}4m=0\\ m-2=0\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}\right.\) (thoả mãn)

Vậy \(x\in\left\lbrace0;2\right\rbrace\) là giá trị cần tìm.

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4.1.\left(m^2-m-3\right)=m^2-4m^2+4m+12=-3m^2+4m+12\)

Phương trình có hai nghiệm khi \(\Delta \geq 0\)

\(-3m^2+4m+12\geq0\)

\(3 m^{2} - 4 m - 12 \leq 0\) (1)

Theo vi-ét ta có \(\): \(\begin{cases}x_1+x_2=m\\ x_1.x_2=m^2-m-3\end{cases}\)  

Mà \(x_1;x_2\) là cạnh tam giác vuông và cạnh huyền BC = 2 nên

 \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4\) 

 \(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} . x_{2} = 4\).

\(m^{2} - 2 \left(\right. m^{2} - m - 3 \left.\right) = 4\)

\(m^{2} - 2 m - 2 = 0\)

\(m=1\pm\sqrt3\)

Thay \(m=1\pm\sqrt3\) vào (1) ta được \(m=1+\sqrt3\) thoả mãn (1)

Vậy \(m=1+\sqrt3\) là giá trị cần tìm.

​

\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2m=0\left(1\right)\)

Phương trình \(\left(1\right)\) có : \(\Delta^{\prime}=[-(m+1)]^2-(m^2+2m)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0\)

⇒ Phương trình \(\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) với mọi m.

Mà \(x_1<x_2\) nên

\(x_1=m+1-1=m\)

\(x_{2} = m + 1 + 1 = m + 2\);

Mà \(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn: \(\mid x_{1} \mid = 3 \mid x_{2} \mid\) nên

\(\mid m \mid = 3 \mid m + 2 \mid\)

\(\left[\begin{array}{l}m=3\left(\right.m+2\left.\right)\\ m=-3\left(\right.m+2\left.\right)\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{l}3m+6=m\\ m=-3m-6\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{l}m=-3\\ m=\frac{-3}{2}\end{array}\right.\) (thoả mãn)

Vậy \(x\in\left\lbrace-3;\frac{-3}{2}\right\rbrace\) là giá trị cần tìm.

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4.1.\left(m-1\right)=4-4m+4=8-4m\)

Phương trình có 2 nghiệm \(x_{1;}x_2\) khi \(\Delta\ge0\)

\(8-4m\ge0\)
\(-4m\ge-8\)

\(m\le2\)

Khi đó theo định li Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 ; x_{1} x_{2} = m - 1\)

Do \(x_{1} ; x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(x^{2} - 2 x + m - 1 = 0\) nên ta có:

\(\begin{cases}x_1^2=2x_1-m+1\\ x_2^2=2x_2-m+1\end{cases}\)

Theo bài ra ta có:

\(x_{1}^{4} - x_{1}^{3} = x_{2}^{4} - x_{2}^{3}\)

\(x_{1}^{4} - x_{2}^{4} - \left(\right. x_{1}^{3} - x_{2}^{3} \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 m + 2 \left.\right) \left(\right. 2 x_{1} - m + 1 - 2 x_{2} + m - 1 \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left[\right. 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 m + 2 + m - 1 \left]\right. = 0\)

\(\left(\right. 2.2 - 2 m + 2 \left.\right) . 2 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 2.2 - m + 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 \left(\right. 6 - 2 m \left.\right) - 5 + m \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 3 m + 7 \left.\right) = 0\)

\(x_1=x_2\) ​; \(m = \frac{7}{3}\) (thoả mãn)

Thay \(x_{1} = x_{2}\) vào (1) ta được:

\(\begin{cases}2x_1=2\\ x_1^2=m-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}x_1=1\\ 1^2=m-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}x_1=1\\ m=2\end{cases}\) (thoả mãn)

Vậy \(m=2\) là giá trị cần tìm.

Δ\(=(-m)^2-4.1.(m-2)=m^2-4m+8=\left(m-2\right)^2+4>0\forall m\)

⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo vi-ét ta có: \(x_{2} + x_{2} = m\); \(x_{1} x_{2} = m - 2\).

Theo bài ra ta có:

\(x_{1} - x_{2} = 2 \sqrt{5}\)

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = 20\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} x_{2} = 20\)

\(\left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} \left.\right) - 4 x_{1} x_{2} = 20\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 20\)

\(m^{2} - 4 \left(\right. m - 2 \left.\right) = 20\)

\(m^2-4m+8=20\)

\(m^2-4m-12=0\)

\(m^2-6m+2m-12=0\)

\(m\left(m-6\right)+2\left(m-6\right)=0\)

\(\left(m+2\right)\left(m-6\right)=0\)

\(\left[\begin{array}{l}m=-2\\ m=6\end{array}\right.\)(thoả mãn)

Vậy \(m\in\left\lbrace-2;6\right\rbrace\) là giá trị cần tìm.

Δ\(=\left(-2\right)^2-4.1.\left(m-1\right)=4-4m+4=8-4m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) thì \(\Delta>0\)

\(8-4m>0\)

\(-4m<-8\)

\(m<2\)

Theo vi-ét ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2\) ; \(x_{1} x_{2} = m - 1\)

Theo đề bài ta có : 

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0\) 

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0\)

\(2^{2} - 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) + \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 14 = 0\)

\(4 - 3 m + 3 + m^{2} - 2 m + 1 - 14 = 0\)

\(m^{2} - 5 m - 6 = 0\)

\(\left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. m - 6 \left.\right) = 0\)

\(m = - 1\) (thoả mãn) hoặc \(m = 6\) (loại)

Vậy \(m=-1\) là giá trị cần tìm.

Δ=\(\left(-4\right)^2-4.1.\left(m-1\right)=16-4m+4=20-4m\)

Để phương trình có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\) thì \(\Delta^{^{}}\geq0\)

\(20-4m\ge0\)

\(-4m\ge-20\)

\(m\le5\)

Theo vi-ét ta có: \(x_{1} + x_{2} = 4 ; x_{1} x_{2} = m - 1\)

Theo đề bài ta ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 14\)

\(4^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 14\)

\(m = 2\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=2\) là giá trị cần tìm.

2x²+4x+m=0 (1)

\(\Delta^{^{}}=4^2-4.2.m=16-8m\)

Phương trình (1) có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\) khi \(\Delta^{^{}}\geq0\)

\(16-8m\geq0\)

\(-8m\ge-16\)

\(m \leq 2\)

Theo vi-ét ta có:

\(x_1+x_2=-2;\) \(x_{1} . x_{2} = \frac{m}{2}\)

Theo đề bài ta có :

\(x_1^2+x_2^2=10\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10\)

\(\left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 2. \frac{m}{2} = 10\)

\(4 - m = 10\)

\(m = - 6\) (thỏa mãn)

Vậy m=-6 là giá trị cần tìm