Bước 1: Nhận dạng quy luật dãy số

Quan sát các số hạng trong tổng:

• Số hạng thứ nhất: \(1 \times 3\)
• Số hạng thứ hai: \(3 \times 5\)
• Số hạng thứ ba: \(5 \times 7\)
• ...
• Số hạng cuối: \(97 \times 99\)

Các số hạng đều có dạng:

\(\left(\right. 2 n - 1 \left.\right) \times \left(\right. 2 n + 1 \left.\right)\)

Vì:

\(2 n + 1\): là số lẻ kế tiếp sau đó 2 đơn vị

• \(2 n - 1\): là số lẻ thứ \(n\)

Bước 2: Biến đổi công thức

Ta có:

\(\left(\right. 2 n - 1 \left.\right) \left(\right. 2 n + 1 \left.\right) = \left(\right. 2 n \left.\right)^{2} - 1 = 4 n^{2} - 1\)

Vậy tổng ban đầu là:

\(\sum_{n = 1}^{49} \left(\right. 4 n^{2} - 1 \left.\right)\)

Vì:

• Số hạng đầu là \(1 \times 3 = \left(\right. 2 \times 1 - 1 \left.\right) \left(\right. 2 \times 1 + 1 \left.\right)\)
• Số hạng cuối là \(97 \times 99 = \left(\right. 2 \times 49 - 1 \left.\right) \left(\right. 2 \times 49 + 1 \left.\right)\)
  ⇒ Có 49 số hạng trong tổng.

Bước 3: Tính tổng

Tính:

\(\sum_{n = 1}^{49} \left(\right. 4 n^{2} - 1 \left.\right) = 4 \sum_{n = 1}^{49} n^{2} - \sum_{n = 1}^{49} 1\)

Ta có công thức:

• \(\sum_{n = 1}^{k} n^{2} = \frac{k \left(\right. k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)}{6}\)
• \(\sum_{n = 1}^{k} 1 = k\)

Thay \(k = 49\):

\sum_{n=1}^{49} n^2 = \dfrac{49 \cdot 50 \cdot 99}{6} = \dfrac{242550}{6} = 40425
]

\sum_{n=1}^{49} 1 = 49
]

Vậy:

\(4 \cdot 40425 - 49 = 161700 - 49 = \boxed{161651}\)