Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên ADB=CBD(2 góc so le trong)

Xét tam giác ADH và CBK có

AHD=CKB=90 độ

AD=BC

ADH=CBK( vì ADB=CBD)

Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Ta có AH vuông DB,CK vuông DB nên AH//CK

Tứ giác AHCK Có AH//CK nên AHCK là hình bình hành (dhnb)

AB // CD ,AB = CD

Vì E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, mà AD = BC, nên DE = BF.

Vì AD // BC, mà E thuộc AD và F thuộc BC, nên DE // BF

Xét tứ giác EBFD có

DE=BF(cmt)

DE//BF(cmt)

Suy ra EBFD là hình bình hành

b)Vì EBFD là hình bình hành (chứng minh ở câu a), nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 

O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD, tức là O là trung điểm của BD. 

Vì O là trung điểm của BD, và BD là một đường chéo của hình bình hành EBFD, nên O cũng là trung điểm của đường chéo EF của hình bình hành EBFD.

Vì O là trung điểm của EF nên 3 điểm E,O,F thẳng hàng

Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM=GB/2;GN =GC/2(t/c)(1)

Mà P là trung điểm của GB nên GP=PB=GB/2(2)

Q laf trung điểm của GC nên GQ=QC=GC/2(3)

Từ 1,2,3 suy ra GM =GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có

GM=GP(cmt)

GN=GQ(cmt)

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G nên PQMN là hình bình hành

Vì B là trung điểm của AE nên AB = BE.

Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Suy ra BE = CD và BE // CD.

Vì C là trung điểm của DF nên CD = CF. Do đó, BE = CF.
Xét tứ giác AEFD, ta có:

AE = 2AB = 2CD = DF

AE // CD // DF
Vậy AEFD là hình bình hành
Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

Vì C là trung điểm của DF nên CF = CD.

Do đó, AB // CF và AB = CF.
Vậy ABFC là hình bình hành

Vi ABCD laf hình bình hành nên

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC,OB=OD

AB//CD nên AM//CN suy ra OAM=OCN(2 góc slt)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có

OAM=OCN(cmt)

OA=OC

AOM =CON(2 góc đối đỉnh)

Suy ra tam giác OAM = tam giác OCN(g-c-g)

Suy ra AM=CN

Ta có AB=AM+BM;CD=CN+DN

Mà AB=CD

Suy ra BM=DN

Xét MBND có

BM//DN

BM=DN

Suyẩ MBND là hình bình hành

a)vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD,AB=CD

Hay AE//CF,AE//DF

Ta có EA+EB=AB

DF+FC=DC

Mà AB=DC

Suy ra AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác AECF có

AE//FC(cmt)

AE=FC(cmt)

Suy ra AECF là hình bình hành

Xét tứ giác AEFD có

AE//DF(cmt)

AE=DF(cmt)

Suy ra AEFD là hình bình hành

b) Vì AEFD là hình bình hành nên EF=AD

Vì AECF là hình bình hành nên AF=EC