Ta có:

AH ⊥ BD, CK ⊥ BD ⇒ AH // CK (1)

∆ABH và ∆CDK có:

ˆAHB=ˆCKD (= 90°)

ˆABH=ˆCDK (2 góc so le trong)

AB = CD (tính chất hình bình hành)

⇒ ∆ABH = ∆CDK (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = CK (2)

Từ (1), (2) ⇒ tứ giác AHCK là hình bình hành.     

1. Chứng minh ∆ADH = ∆CBK:
2. • Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.
   • Vì AD // BC nên hai góc so le trong bằng nhau: góc D1 = góc B1.
   • Vì AH ⊥ BD và CK ⊥ BD nên AH // CK.
   • Xét ∆ADH và ∆CBK có:
   • • AD = BC (chứng minh trên).
     • Góc D1 = góc B1 (chứng minh trên).
     • Góc AHD = góc CKB = 90° (theo giả thiết).
   • Do đó, ∆ADH = ∆CBK (cạnh huyền - góc nhọn).
3. Suy ra AHCK là hình bình hành:
4. • Từ ∆ADH = ∆CBK, ta có AH = CK.
   • Ta có AH // CK (do AH ⊥ BD và CK ⊥ BD).
   • Xét tứ giác AHCK có:
   • • AH // CK (chứng minh trên).
     • AH = CK (chứng minh trên).
   • Do đó, AHCK là hình bình hành. 

1. Chứng minh O là trung điểm của HK:
2. • Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
   • AC và HK là hai đường chéo của hình bình hành AHCK.
   • Do đó, AC cắt HK tại trung điểm của HK. Gọi O là giao điểm của AC và HK. O là trung điểm của HK.
3. Chứng minh ∆AOD = ∆COB:
4. • Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.
   • Xét ∆AOD và ∆COB có:
   • • AD = BC (do ABCD là hình bình hành).
     • Góc D1 = góc B1 ( hai góc so le trong).
     • Góc AOD = góc COB (hai góc đối đỉnh).
   • Do đó, ∆AOD = ∆COB (g.c.g).
   • Suy ra OA = OC (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
5. Chứng minh I là trung điểm của HK:
6. • Trong hình bình hành AHCK, O là trung điểm của HK.
7. Chứng minh IB = ID:
8. • Vì I là trung điểm của HK và O là trung điểm của HK, nên I và O trùng nhau.
   • Vì O là trung điểm của HK và cũng là trung điểm của HK (vì I trùng O), và I là trung điểm của HK.
   • Do đó, I là trung điểm của AC và HK, suy ra I là trung điểm của HK.
   • Trong tam giác BDI, ta có BI = DI, vì O là trung điểm của HK, và O là trung điểm của AC.
   • Vì I trùng O, I là trung điểm của AC và HK.
   • Ta có IB = ID. 

a)Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành