a) do ABCD là hình bình hành nên AD//BC và AD=BC

do AD//BC nên góc ADB= góc CBD( 2 góc so le trong)

xét tam giác ADH và tam giác CBK, có:

góc AHD= góc CKB (=90°)

AD=BC(cmt)

góc ADH= góc CBK ( do góc ADB= góc CBD)

vậy tam giác ADH= tam giác CBK (cạnh huyền- góc nhọn)

suy ra AH=CK(2 cạnh tương ứng)

có AH vuông góc với DB và CK vuông góc với DB nên AH//CK

xét tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK

suy ra AHCK là hình bình hành( dấu hiệu nhận biết)

b) do AHCK là hình bình hành (cmt) nên 2 đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của HK (gt) nên I cũng là trung điểm của AC

do ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của AC nên I cũng là trung điểm của BD, hay IB=ID

Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (gt) nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM=GB/2; GN=GC/2(tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB(gt) nên GP=PB=GB/2 (2)

Q là trung điểm của GC(gt) nên

GQ=QC=GC/2 (3)

từ (1) ,(2) và (3) suy ra GM=GP và GN =GQ

Xét tứ giác PQMN có GM=GP và GN=GQ(cmt)

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

a) Vì ABCD là hinh bình hành nên AB=CD, AB//CD Mà 2 điểm B,C lần lượt là trung điểm của AE, DF Suy ra AE=DF, AB=BE=CD=CF Tứ giác AEFD có: AE//DF(AE//CD) , AE =DF(cmt) Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành Tứ giác ABFC có AB//CF(AB//CD), AB. =CF(cmt) Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành b) vì hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O Hình bình hành AEFD có 2 đường chéo AF và BC Mà O là trung điểm của AF Suy ra O cũng là trung điểm của BC Vậy các trung điểm của 3 đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

a) ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC

Mà E là trung điểm của AD nên AE=ED

F là trung điểm của BC nên BF= FC

Suy ra DE= BF

Xét tứ giác EBFD có DE//BF (AB//BC) và DE=BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Ta có O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên 2 đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF

Vậy 3 điểm E,O,F thẳng hàng

Vì ABCD là hình bình hành (gt) Suy ra AB//CD, AB=CD, O là trung điểm của AC (tính chất hình bình hành) Có AB//CD(cmt) Suy ra góc MAC =góc ACN (2 góc so le trong) Xét tam giác OAM và tam giác OCN, có: góc MAC=góc ACN (cmt) OA =OC (O là trung điểm AC) góc AOM=góc CON (2 góc đối đỉnh) Vậy tam giác AOM = tam giác CON( g.c.g) Suy ra AM=NC (2 cạnh tương ứng) Có AB=AM+MB, DC=DN+NC Mà AM=NC(cmt), AB=DC(cmt) Suy ra MB=DN Có AB//DC (cmt) Mà M thuộc AB, N thuộc DC Suy ra MB//DN Xét tứ giác MBND, có: MB=DN(cmt), MB//DN(cmt) Suy ra MBND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

a) vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AB//CD

mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE=BE=1/2 AB, CF=DF=1/2 CD

do đó AE=BE=CF=DF

xét tứ giác AEFD ,có:

AE//DF (vì AB//CD)

AE=DF(cmt)

suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành( dấu hiệu nhận biết)

xét tứ giác AECF ,có:

AE//CF (vì AB//CD)

AE=CF(cmt)

suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

vậy 2 tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành

b) vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF=AD

vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF=EC

vậy EF=AD, AF=EC