a) Ta có:
Ax⊥AC và By//AC
⇒Ax⊥By⇒∠AMB = 90 độ

Xét hai tam giác △MAQ và △MBQ, ta có:

∠MQA=∠MBQ(so le trong)

MQ là cạnh chung

∠AMQ=∠BMQ(do Axu∥Qb)

⇒ △MAQ=△MBQ(góc – cạnh – góc tương ứng)

⇒ AM=BM

⇒AM = BM ⇒ △AMB=△BMB(cạnh – góc – cạnh)

Xét tứ giác AMBQAMBQ, ta có:

• ∠AM=∠AMB=∠MBQ=∠MQB

⇒ AMBQAMBQ là tứ giác nội tiếp

b) PP là trung điểm của đoạn ABAB ⇒ PQ=1/2AB (1)

Xét tam giác AIBAIB, tương tự ta có: ⇒ IP=1/2IB(2)

Từ (1) và (2) ⇒ QP=1/2PB ⇒ Tam giác PQIPQI cân tại PP

Xét △ABC có:
BM là trung tuyến ứng với cạnh AC
Mà BM = 1/2 AC
=> △ABC vuông tại B
Xét tứ giác ABCD có:
∠A = ∠D = ∠B = 90 độ
=> Tứ giác ABCD là hcn

Có IA = IC và IH = ID
=> AHCD là HBH do có AC và DH cắt nhau tại tđ I
mà ∠AHC = 90độ => AHCD là hcn

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên ∠ADB = ∠CBD (so le trong)

Xét ΔADH và ΔCBK có:
∠AHD = ∠CKB = 90°
AD = BC (chứng minh trên)
∠ADH = ∠CBK (do ∠ADB = ∠CBD)

Do đó ΔADH = ΔCBK (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Do AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK (giả thiết) nên I là trung điểm của AC.

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD, hay IB = ID.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của ΔABC. Suy ra

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên

Từ (1), (2), (3) suy ra:

Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ ⇒ Tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

Xét hình bình hành ABCD có:
AB // CD và AB = CD
Mà B là trung điểm AE
C là trung điểm DF
=> AE//DF và AE = DF
=> AB = CF và AB // CF
Xét tứ giác AEFD có:
AE//DF và AE = DF
=> AEFD là hình bình hành
Xét tứ giác ABFC có:
AB = CF và AB // CF(cmt)
=> ABFC là hình bình hành
b)Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Có: O là giao điểm của 2 đường chéo=> OA = OC
Do MN đi qua O => OM và ON đối nhau
Mà OC và OA đối nhau(do AC đi qua O)
=> ∠AOM = ∠CON là 2 góc đối đỉnh
Xét ΔOAM và ΔOCN có:
OA = OC
∠AOM = ∠CON(cmt)
∠OAM = ∠OCN(do 2 góc đối nhau mà ABCD là hình bình hành)
=> ΔOAM = ΔOCN(g.c.g)
=> OM = ON ( 2 cạnh tương ứng)
Mà OD = OB(do 2 đường chéo hình bình hành ABCD cắt nhau tại O)
=> tứ giác MBND là hình bình hành

Có: O là giao điểm của 2 đường chéo=> OA = OC
Do MN đi qua O => OM và ON đối nhau
Mà OC và OA đối nhau(do AC đi qua O)
=> ∠AOM = ∠CON là 2 góc đối đỉnh
Xét ΔOAM và ΔOCN có:
OA = OC
∠AOM = ∠CON(cmt)
∠OAM = ∠OCN(do 2 góc đối nhau mà ABCD là hình bình hành)
=> ΔOAM = ΔOCN(g.c.g)
=> OM = ON ( 2 cạnh tương ứng)
Mà OD = OB(do 2 đường chéo hình bình hành ABCD cắt nhau tại O)
=> tứ giác MBND là hình bình hành