Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), \(E \in A C , \textrm{ }\textrm{ } F \in B C\) sao cho tam giác \(E B F\) vuông cân tại \(F\).

Chứng minh: \(A F\) là tia phân giác góc \(A\).

Vì tam giác \(E B F\) vuông cân tại \(F\) nên:

\(E F = B F , \angle E B F = \angle B E F = 45^{\circ}\)

Mà \(F \in B C\) nên:

\(\angle E B F = \angle A B C\)

Suy ra:

\(\angle A B C = 45^{\circ}\)

Lại có tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\):

\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\) \(90^{\circ} + 45^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}\) \(\Rightarrow \angle C = 45^{\circ}\)

Vậy:

\(\angle B = \angle C\)

Suy ra:

\(A B = A C\)

(Do trong tam giác, hai góc bằng nhau thì đối diện là hai cạnh bằng nhau.)

Xét tam giác \(A B F\) và tam giác \(A F E\):

• \(B F = F E\) (tam giác \(E B F\) vuông cân tại \(F\))
• \(A B = A E\)
• \(A F\) chung

Suy ra:

\(\Delta A B F = \Delta A F E \left(\right. c . c . c \left.\right)\)

Do đó:

\(\angle B A F = \angle F A E\)

Mà \(E \in A C\) nên:

\(\angle F A E = \angle F A C\)

Vậy:

\(\boxed{\angle B A F = \angle F A C}\)

Hay AF là tia phân giác góc A.

Ta đọc đề:

“Tập hợp A các số tự nhiên lớn hơn 2 và không vượt quá 7”

• Số tự nhiên lớn hơn 2 → bắt đầu từ 3
• Không vượt quá 7 → nhỏ hơn hoặc bằng 7

Vậy các phần tử là: 3, 4, 5, 6, 7

Nên viết:

A = {3; 4; 5; 6; 7}

Phương pháp làm muối dựa trên sự bay hơi và sự khác nhau về khả năng bay hơi của các chất.

Khi phơi nước biển dưới nắng:

• Nước nhận nhiệt rồi bay hơi thành hơi nước và đi vào không khí.
• Muối ăn (chủ yếu là NaCl) không bay hơi ở nhiệt độ thường nên ở lại và kết tinh thành hạt muối.

Vì vậy, nước biển biến mất còn muối vẫn ở lại để diêm dân thu hoạch.

Ban ngày cây quang hợp nên hấp thụ CO₂ và giải phóng O₂ nhờ có ánh sáng.

Ban đêm không có ánh sáng nên cây không quang hợp, nhưng vẫn phải hô hấp để duy trì sự sống → cây hấp thụ O₂ và thải CO₂.

Để vài chậu cây nhỏ trong phòng ngủ thường không nguy hiểm. Nhưng nếu phòng kín và có quá nhiều cây thì có thể làm không khí bí hơn, nên vẫn nên thông thoáng phòng nhé.

hi

Đối với các đám cháy do xăng, dầu, người ta tuyệt đối không dùng nước để dập lửa vì:

• Xăng, dầu không tan trong nước và nhẹ hơn nước nên sẽ nổi lên trên mặt nước.
• Khi đổ nước vào, nước không phủ kín được lớp xăng dầu đang cháy mà còn làm lớp nhiên liệu tràn lan ra xung quanh.
• Xăng dầu tiếp xúc với oxygen ở nhiều vị trí hơn → ngọn lửa lan rộng hơn, đám cháy có thể bùng lớn rất nhanh.
• Ngoài ra, nhiệt độ cao làm nước bốc hơi mạnh, có thể khiến xăng dầu bắn tung tóe, gây nguy hiểm.

Vì vậy, với cháy xăng dầu người ta thường dùng:

• Cát
• Chăn chữa cháy
• Bình chữa cháy bột khô
• Bình chữa cháy CO₂
• Bọt chữa cháy (foam)

Các cách này có tác dụng phủ kín bề mặt nhiên liệu, ngăn không cho oxygen tiếp xúc với lửa, nên đám cháy sẽ tắt.

Đây là một trong những nghịch lý xác suất nổi tiếng nhất — Nghịch lý 100 tù nhân. Chiến thuật nghe rất “ma thuật” nhưng thực ra dựa trên chu trình (cycle) của hoán vị.

Chiến thuật

Mỗi tù nhân làm như sau:

• Người tù số k sẽ mở hộp số k trước.
• Nếu trong đó có số k → xong.
• Nếu không, giả sử trong hộp đó có số x → tiếp tục mở hộp số x.
• Nếu trong hộp mới lại thấy số y → mở hộp số y.
• Cứ thế đi theo “dấu vết số” tối đa 50 lần mở.

Nói ngắn gọn:

Mở hộp mang số của mình → đọc số bên trong → dùng số đó làm số hộp tiếp theo.

Ví dụ nhỏ (10 hộp để dễ hình dung)

Giả sử:

Người tù số 1:

• Mở hộp 1 → thấy 4
• Mở hộp 4 → thấy 8
• Mở hộp 8 → thấy 9
• Mở hộp 9 → thấy 2
• Mở hộp 2 → thấy 3
• Mở hộp 3 → thấy 7
• Mở hộp 7 → thấy 1 → tìm thấy!

Đường đi:

1 → 4 → 8 → 9 → 2 → 3 → 7 → 1

Đó chính là một vòng lặp (cycle).

Tại sao chiến thuật này hiệu quả?

Cách sắp xếp số trong hộp thực chất tạo thành một hoán vị của 100 số.

Hoán vị nào cũng tách thành các chu trình độc lập.

Ví dụ:

• Chu trình dài 12
• Chu trình dài 27
• Chu trình dài 44
• Chu trình dài 17

Nếu không có chu trình nào dài quá 50, thì:

• mọi tù nhân thuộc chu trình đó sẽ tìm được số của mình trong ≤ 50 lần mở.

=> Tất cả sống.

Ngược lại:

• nếu tồn tại chu trình dài 51 trở lên,
• những người trong chu trình đó sẽ thất bại.

Kết quả bất ngờ

Xác suất sống nếu chọn ngẫu nhiên:

≈ 0,0000000000000000000000000000008

(gần như chắc chắn chết)

Nhưng với chiến thuật chu trình:

Tức khoảng 1/3 số lần thử sẽ cứu được cả 100 người — tăng khủng khiếp so với đoán mò.

Đó là lý do bài toán này nổi tiếng: mỗi cá nhân chỉ nhìn được 50 hộp, nhưng bằng cách khai thác cấu trúc của hoán vị, cả nhóm đạt xác suất sống cực cao.

OLM là nơi để học tập và trao đổi kiến thức, nên mong mọi người đăng bài đúng nội dung và đúng mục để không làm ảnh hưởng đến những bạn đang cần được hỗ trợ thật sự.

OLM là nơi để học tập và trao đổi kiến thức, nên mong mọi người đăng bài đúng nội dung và đúng mục để không làm ảnh hưởng đến những bạn đang cần được hỗ trợ thật sự.

Ta có tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), \(A B = A C\), \(H\) là trung điểm của \(B C\).

a) Chứng minh \(\Delta A B H = \Delta A C H\)

Xét hai tam giác \(A B H\) và \(A C H\):

• \(A B = A C\) (giả thiết)
• \(H\) là trung điểm của \(B C\) nên \(B H = H C\)
• \(A H\) là cạnh chung

Suy ra:

⇒ \(\Delta A B H = \Delta A C H\) (theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh).

Kết luận: \(\boxed{\Delta A B H = \Delta A C H}\)

b) Chứng minh \(A H \bot B C\)

Từ câu a có:

Suy ra:

Mà \(B , H , C\) thẳng hàng nên:

Hai góc bằng nhau và tổng bằng \(180^{\circ}\) ⇒ mỗi góc bằng:

Do đó:

Kết luận: \(\boxed{A H \bot B C}\)

c) Trên tia đối của \(A H\) lấy \(E\) sao cho \(A E = B C\), trên tia đối của \(C A\) lấy \(F\) sao cho \(A F = B A\). Chứng minh \(B E = B F\)

Ta có:

• \(A B = A C\) (giả thiết)
• \(A F = B A\)

⇒

Mà \(F\) thuộc tia đối của \(C A\) nên:

Do tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(A\):

Lại có:

Từ câu b:

Mà \(H\) là trung điểm của \(B C\) ⇒ \(A H\) là trục đối xứng của tam giác vuông cân \(A B C\).

Khi lấy:

• \(E\) trên tia đối của \(A H\)
• \(F\) trên tia đối của \(C A\)
• đồng thời \(A E = B C , \&\text{nbsp}; A F = A B\)

thì hai tam giác \(A B E\) và \(A B F\) có:

• \(A B\) chung
• \(A E = B C\)
• các góc tạo bởi tính chất đối xứng tương ứng bằng nhau

Suy ra:

⇒

Vậy cần chứng minh: