có G là trọng tâm tam giác ABC

=> vecto GA + vecto GB + vecto GC = vecto 0 (1)

có G là trọng tâm của tam giác AEF

=> vecto GA + vecto GE + vecto GF = vecto 0 (2)

(1) (2) => vecto GA + vecto GB + vecto GC = vecto GA + vecto GE + vecto GF

<=> vecto GB + vecto GC = vecto GE + vecto GF

<=> vecto GE + vecto EB + vecto GC = vecto GE + vecto CF + vecto GC

<=> vecto EB = vecto CF hay vecto BE = vecto FC.

Tia \(A O\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(D\) => AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

=> góc ACD = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay DC vuông góc với AC

H là trực tâm của tam giác ABC => BH vuông góc với AC => DC//BH (1)

tương tự ta có góc DBA = 90 độ hay DB vuông góc với AB

mà CH vuông góc với AB => DB // CH (2)

(1) (2) => BHCD là hình bình hành

=> vecto HB = vecto CD.

B' là điểm đối xứng của B qua O => BB' là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

=> góc BCB' = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

H là trực tâm => AH vuông góc với BC => AH //B'C (1)

tương tự có BAB' = 90 độ hay AB vuông góc với AB'

mà CH vuông góc với AB => CH//AB' (2)

(1) (2) => AB'CH là hình bình hành

=> vecto AH = vecto B'C.

có ABCD là hình bình hành => AD = BC (1)

M là trung điểm BC => MC = 1/2 BC; N là trung điểm AD => AN = 1/2 AD (2)

(1) (2) => MC = AN (3)

mà BC // AD nên CM // AN (4)

(3) (4) => AMCN là hình bình hành

=> vecto AM = vecto NC.

Tương tự có DMBN là hình bình hành => DM // NB

Xét tam giác ANI và tam giác NDK có:

AN = ND (cmt)

góc NAI = góc DNK (AM // NC (AMCN là hình bình hành) mà 2 góc ở vị trí đồng vị)

góc ANI = góc NDK (NB // MD (DMBN là hình bình hành) mà 2 góc ở vị trí đồng vị)

=> tam giác ANI = tam giác NDK (g-c-g)

=> NI = DK (2 góc tương ứng) (5)

có I thuộc NB, K thuộc DM, mà NB // DM => NI // DK (6)

(5) (6) => vecto NI = vecto DK.

tam giác ABC có: D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB (GT)

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> EF // CB; EF = 1/2 CB (tính chất đường trung bình) (1)

mà D là trung điểm của BC nên CD = 1/2 BC. (2)

(1) (2) => EF = CD

mà vecto EF và vecto CD cùng hướng

=> vecto EF = vecto CD.

vectơ AO = OC; DO = OB; OA = CO; OD = BO.