Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)
nên \(H B \bot A C\)
Vì tia \(A O\) cất đường tròn tâm \(O\) tại \(D\)
nên \(A D\) là đường kính của đường tròn tâm \(O\).
\(& \Rightarrow A C D = 9 0^{\circ} \\ & \Leftrightarrow C D \bot A C\)
\(\Rightarrow H B / / C D\)
Chứng minh tương tự \(\Rightarrow B D / / H C\).

Ta có \(B^{'}\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\) nên \(B B^{'}\) là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\).

Ta có: \(O C = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(C B B^{'}\) vuông tại \(C\).

Ta có: \(\left{\right. B^{'} C \bot B C \\ A H \bot B C \Rightarrow B^{'} C / / A H\)

Tương tự: \(O A = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(A B B^{'}\) vuông tại \(A\).

Ta có: \(\left{\right. B^{'} A \bot A B \\ C H \bot A B \Rightarrow B^{'} A / / C H\)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác \(A H C B^{'}\) là hình bình hành. Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A H} = \overset{\rightarrow}{B^{'} C}\).

a) \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M}\).
Ta có \(A , N\) lần lượt là trung điểm của \(F C , F E\)

\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{B M} \Rightarrow\) tứ giác \(A N M B\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{N M} = \overset{\rightarrow}{A B}\).

b) \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).
Ta có \(I , K\) lần lượt là trung điểm của \(G A\) và \(G D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I K} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M} \Rightarrow\) tứ giác \(I N M K\) là hình bình hành nên \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Cho tam giác \(A B C\) và tam giác \(A E F\) có cùng trọng tâm \(G\). Chứng minh: \(\overset{\rightarrow}{B E} = \overset{\rightarrow}{F C}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0}\) (1).
Và \(G\) là trọng tâm \(\Delta A E F \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{0} \left(\right. 2 \left.\right)\).
Từ (1) và \(\left(\right. 2 \left.\right)\) :
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G C} - \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{G E} - \overset{\rightarrow}{G B} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{B E}\).

- Chứng minh \(\overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{N C}\).

Ta có:
\(M\) trung điểm \(B C \rightarrow M C = \frac{1}{2} B C\).

\(N\) trung điểm \(A D \rightarrow A N = \frac{1}{2} A D\).

Mà \(A D = B C \Rightarrow A N = M C \Rightarrow\) Tứ giác \(A M C N\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{N C}\).

- Chứng minh \(\overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Ta có: AN // MB, AN = MB, MN // AB => ABMN là hình bình hành => I là trung điểm MB => NI=1/2 NB (1)

Ta có: DN // MC, DN = MC, MN // DC => CDNM là hình bình hành => K là trung điểm MD => DK=1/2DM(2)\(\)

Dễ thấy \(B N D M\) là hình bình hành do \({BN//MD,BN=MD}\) nên \(N D = B M \left(\right. 3 \left.\right)\).

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

ta có EF là đường trung bình của tam giác ABC => EF // BC hay Vector EF song song với Vector CD
và EF= 1/2 BC
lại có D là trung điểm BC => CD=1/2 BC => EF=BC hay |vector EF| = |vector CD|
=> vector EF = vector CD

Ta có: \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C} ; \overset{\rightarrow}{B A} = \overset{\rightarrow}{C D} ; \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{B C} ; \overset{\rightarrow}{D A} = \overset{\rightarrow}{C B} ; \overset{\rightarrow}{A O} = \overset{\rightarrow}{O C} ; \overset{\rightarrow}{O A} = \overset{\rightarrow}{C O} ; \overset{\rightarrow}{O B} = \overset{\rightarrow}{D O} ; \overset{\rightarrow}{B O} = \overset{\rightarrow}{O D}\).