Bùi Đức Chính
Giới thiệu về bản thân
Thử phiên bản mới
Chào mừng bạn đến với trang cá nhân của Bùi Đức Chính
0
0
0
0
0
0
0
2026-10-01 19:29:30
Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(P\):
\(P=x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\)Từ giả thiết \(z \ge y \ge x \ge 0\), ta có các hiệu sau đều không âm:
\(P=\left[x(y-x)^{2}+x(y-x)(z-y)\right]-y(y-x)(z-y)+\left[z(z-y)^{2}+z(y-x)(z-y)\right]\)\(P=x(y-x)^{2}+z(z-y)^{2}+\left[x(y-x)(z-y)-y(y-x)(z-y)+z(y-x)(z-y)\right]\)Đặt nhân tử chung \((y-x)(z-y)\) cho các hạng tử ở cuối:
\(P=x(y-x)^{2}+z(z-y)^{2}+(y-x)(z-y)(x-y+z)\)Đánh giá các đại lượngXét từng thành phần trong biểu thức của \(P\):
\(P\ge 0\quad (\text{đpcm})\)Dấu đẳng thức xảy raDấu "\(=\)" xảy ra khi và chỉ khi:
\(P=x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\)Từ giả thiết \(z \ge y \ge x \ge 0\), ta có các hiệu sau đều không âm:
- \(y - x \ge 0\)
- \(z - y \ge 0\)
- \(z - x \ge 0\)
- Hạng tử thứ nhất:
\(x(x-y)(x-z)=x[-(y-x)][-(z-x)]=x(y-x)(z-x)\)
Thay \(z-x = (z-y) + (y-x)\), ta được:
\(x(y-x)(z-x)=x(y-x)[(z-y)+(y-x)]=x(y-x)(z-y)+x(y-x)^{2}\) - Hạng tử thứ hai:
\(y(y-z)(y-x)=y[-(z-y)](y-x)=-y(y-x)(z-y)\) - Hạng tử thứ thưa:
\(z(z-x)(z-y)=z[(z-y)+(y-x)](z-y)=z(z-y)^{2}+z(y-x)(z-y)\)
\(P=\left[x(y-x)^{2}+x(y-x)(z-y)\right]-y(y-x)(z-y)+\left[z(z-y)^{2}+z(y-x)(z-y)\right]\)\(P=x(y-x)^{2}+z(z-y)^{2}+\left[x(y-x)(z-y)-y(y-x)(z-y)+z(y-x)(z-y)\right]\)Đặt nhân tử chung \((y-x)(z-y)\) cho các hạng tử ở cuối:
\(P=x(y-x)^{2}+z(z-y)^{2}+(y-x)(z-y)(x-y+z)\)Đánh giá các đại lượngXét từng thành phần trong biểu thức của \(P\):
- \(x(y-x)^2 \ge 0\) (vì \(x \ge 0\) và \((y-x)^2 \ge 0\))
- \(z(z-y)^2 \ge 0\) (vì \(z \ge 0\) và \((z-y)^2 \ge 0\))
- \((y-x)(z-y) \ge 0\) (vì \(y \ge x\) và \(z \ge y\))
- \(x - y + z = (z - y) + x \ge 0\) (vì \(z \ge y \implies z - y \ge 0\) và \(x \ge 0\))
\(P\ge 0\quad (\text{đpcm})\)Dấu đẳng thức xảy raDấu "\(=\)" xảy ra khi và chỉ khi:
- \(x = y = z\) hoặc
- \(x = 0\) và \(y = z\)