Kẻ IM vuông góc với AD tại M

Ta có

\(\hat{HAI}+\hat{CAB}=180^{o}\) (2 góc kề bù)

\(\hat{HAI}=180^{o}-\hat{BAC}\) =\(180^{o}-120^{o}\) =\(60^{o}\)

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ta có

\(\hat{DAI}=\frac12\hat{BAC}\) =\(\frac12.120^{o}\) =\(60^{o}\)

hay \(\hat{MAI}=60^{o}\)

Xét 2 tam giác vuông HAI và MAI, có

AI là cạnh chung

\(\hat{HAI}=\hat{MAI}\left(=60^{O}\right)\)

Do đó \(\Delta HAI=\Delta MAI\) (cạnh huyền- góc nhọn) suy ra IH=IM(2 cạnh tương ứng)(1)
Xét 2 tam giác vuông IMD và IKD, có

ID là cạnh chung

\(\hat{IDM}=\hat{IDK}\) (giả thiết)

Do đó\(\Delta IMD=\Delta IKD\) (cạnh huyền-góc nhọn) suy ra IM=IK(2 cạnh tương ứng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra IH=IM

Xét 2 tam giác vuông ADH và ADK, có

AD là cạnh chung

\(\hat{HAD}=\hat{KAD}\) (giả thiết)

Do đó \(\Delta ADH=\Delta ADK\) (cạnh huyền-góc nhọn)

suy ra DH=DK(2 cạnh tương ứng)

Vì tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của đoạn thẳng BC tại D nên D thuộc đường trung trực của BC

Suy ra DB=DC

Xét 2 tam giác vuông HDB và KDC, có

DH=DK(chứng minh trên)

DB=DC(chứng minh trên)

Do đó \(\Delta HDB=\Delta KDC\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra BH=CK(2 cạnh tương ứng)

a)Ta có\(DC=\frac12AC;BE=\frac12AB\)

Mà AB=AC nên DC=BE

Xét \(\Delta BCD\) và\(\Delta CBE\) , có

DC=BE(chứng minh trên)

BC là cạnh chung

\(\hat{BCD}=\hat{CBE}\) (giả thiết)

suy ra \(\Delta BCD=\Delta CBE\) (c.g.c)

suy ra BD=CE(2 cạnh tương ứng)

b)Vì 2 đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của\(\Delta ABC\) ,ta có

CG=\(\frac23EC;BG=\frac23BD\)

Mà EC=BD(chứng minh a) nên CG=BG suy ra\(\Delta GBC\) cân tại G

c)Vì G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên ta có

GE=\(\frac13CE;GD=\frac12BD\)

Mà CE=BD(chứng minh a)nên GE=GD=\(\frac13BD\)

suy ra GE+GD=\(\frac23\) BD

Xét \(\Delta GBC\) cân có

GB+GC>BC(bất đẳng thức tam giác)

hay 2GB>BC

Mà GB=\(\frac23\) BD(chứng minh b)

nên \(\frac43\) BD>BC

suy ra BD>\(\frac34\) BC

Do đó \(\frac23\) BD>\(\frac12\) BC

hay GE+GD>\(\frac12BC\)

Xét\(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Gọi AM là đường trung tuyến của\(\Delta ABC\) biết M\(\in\) BC và AM đi qua G suy ra BM=CM

Vì G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên CG=\(\frac23CF\) ;\(\)\(\) BG=\(\frac23\) BE

Mà BE=CF nên CG=BG

Xét \(\Delta GMBvà\Delta GMC\) , có

CG=BG,BM=CM(chứng minh trên)

GM là cạnh chung

suy ra\(\Delta GMB=\Delta\) GMC(c.c.c)

Do đó\(\hat{GMB}=\hat{GMC}\) (2 góc tương ứng)

Lại có \(\hat{GMB}+\hat{GMC}\) =\(180^{o}\) (2 góc kề bù)

\(\hat{GMB}=180^{o}:2=90^{o}\)

Vậy AG\(\) vuông góc với BC tại M

Xét \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Do đó BM=\(\frac32BG\) ;CN=\(\frac32CG\)

Ta có

BG+CG>BC(bất đẳng thức tam giác)
Do đó\(\frac32BG+\frac32\) CG>\(\frac32\) BC

hay BM+CN>\(\frac32\) BC(đpcm)

a)Vì BF là tia phân giác của \(\hat{B}\) nên ta có

\(\hat{ABF}=\frac12\hat{B}\)

Mà \(\hat{B}=\hat{C}\) (giả thiết)
\(\rArr\hat{ABF}=\frac12\hat{C}\)

Mặt khác, CE là tia phân giác của \(\hat{C}\) nên ta có

\(\hat{ACE}=\frac12\hat{C}\)

\(\rArr\hat{ABF}=\hat{ACE}\left(=\frac12\hat{C}\right)\)

b)Xét \(\Delta ABF\) và\(\Delta ACE\), có

\(\hat{ABF}=\hat{ACE}\) (chứng minh a)

AB=AC(giả thiết)
\(\hat{A}\) chung

\(\rArr\Delta ABF=\Delta ACE\) (g.c.g)

\(\rArr\) AF=AE(2 cạnh tương ứng)

Xét\(\Delta AEF\) có AF=AE nên \(\Delta AEF\) cân tại A

c)Ta có \(\hat{FBC}=\hat{ECB}\) nên\(\hat{IBC}=\hat{ICB}\)

Xét\(\Delta IBC\) có\(\hat{IBC}=\hat{ICB}\) (chứng minh trên) nên \(\Delta IBC\) cân tại I

Do đó IB=IC

Xét\(\Delta EIB\) và\(\Delta FIC\) , có

\(\hat{EIB}=\hat{FIC}\) (đối đỉnh)
\(IB=IC;\hat{EBI}=\hat{FCI}\) (chứng minh trên)

\(\rArr\Delta EIB=\Delta FIC\) (g.c.g)

\(\rArr IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)
Xét\(\Delta IEF\) có IE=IF(chứng minh trên) nên \(\Delta IEF\) cân tại I

Gọi 9 học sinh đến từ các nước: Mỹ, Anh, Pháp, Thái Lan, Việt Nam, Canada, Thụy Sĩ, Nga và Brasil lần lượt là 1,2,3,4,5,6,7,8,9

a)Các kết quả có thể xảy ra đối với học sinh được chọn ra là:G={1;2;3;4;5;6;7;8;9}

Tập hợp G gồm có 9 phần tử

b)Những kết quả thuận lợi cho biến cố "Học sinh được chọn ra đến từ châu Á" là:4,5. Có 2 kết quả thuận lợi.

Vì thế xác suất của biến cố đó là:\(\frac29\)

a)Ngày 5/2/2023 là ngày đầu tiên của tháng 02/2023, hộ gia đình tiêu thụ lượng điện ít nhất

b)Trong tuần đầu tiên của tháng 02/2023, hộ gia đình đó tiêu thụ hết số kW.h điện là:

17+18+16+13+12+16+20=112(kW.h)

Trung bình mỗi ngàu tiêu thụ hết số kW.h điện là:

112:7=16(kW.h)

c)Trong 7 ngày đầu tiên của tháng 02/2023, ngày tiêu thụ điện nhiều nhất tăng số % so với ngày tiêu thụ điện ít nhất là:

\(\frac{20.100\%}{12}-100\%=67\%\)

a)Xét 2 tam giác vuông BEC và CDB, có

BC là cạnh chung;\(\hat{B}=\hat{C}\) (giả thiết)

\(\rArr\Delta BEC=\Delta CDB\) (cạnh huyền-góc nhọn)

\(\rArr\) BE=CD(2 cạnh tương ứng)

Lại có

AE+BE=AB;AD+CD=AC

Mà AB+AC(giả thiết)

\(\rArr\) AE+BE=AD+CD

\(\rArr\) AE=AD(vì BE=CD theo chứng minh trên)

b)Xét 2 tam giác vuông AEI và ADI, có

AE=AD(chứng minh a);AI là cạnh chung

\(\rArr\) \(\Delta AEI=\Delta ADI\) ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)

\(\rArr\) \(\hat{A}_1=\hat{A}_2\) ( 2 góc tương ứng)

Lại có tia AI nằm trong 2 tia AB và AC

Do đó AI là tia phân giác của \(\hat{BAC}\)

c)Vì AE=AD( chứng minh a) nên \(\Delta ADE\) cân tại A

\(\rArr\) \(\hat{ADE}=\hat{AED}\) ( 2 góc ở đáy)

Lại có \(\hat{ADE}+\hat{AED}+\hat{BAC}=180^{o}\) (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

\(\hat{ADE}=\frac{180^{o}-\hat{BAC}}{2}\)

Mặt khác \(\hat{ABC}+\hat{BAC}+\hat{ACB}=180^{o}\) (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

Mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (2 góc ở đáy của tam giác cân)

\(\rArr\hat{ACB}=\frac{180^{o}-\hat{BAC}}{2}\)

\(\rArr\hat{ADE}=\hat{ACB}\left(=\frac{180^{O}-\hat{BAC}}{2}\right)\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DE//BC

Gọi điểm nằm giữa A và B là M

Xét tam giác AMC vuông tại A luôn có

AC<MC hay MC>550

Mà bán kính để nghe rõ tiếng của loa là 550 m nên ở điểm nằm giữa A và B không thể nghe thấy tiếng loa