Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\).

Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\)

\(\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B M\); \(C G = \frac{2}{3} C N\)

\(\Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G\); \(C N = \frac{3}{2} C G\).

Do đó ta phải chứng minh \(\frac{3}{2} B G + \frac{3}{2} C G > \frac{3}{2} B C\) hay \(B G + C G > B C\). (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy \(B M + C N > \frac{3}{2} B C\). (điều phải chứng minh).

a) Ta có \(\triangle A B C\) cân tại \(A \Rightarrow A B = A C\) mà \(A B = 2 B E\); \(A C = 2 C D\) (vì \(E , D\) theo thứ tự là trung điểm của \(A B\), \(A C \left.\right)\).

Do đó ta có \(2 B E = 2 C D\) hay \(B E = C D\).

Xét \(\triangle B C E\) và \(\triangle C B D\) có \(B E = C D\) (chứng minh trên);

\(\hat{E B C} = \hat{D C B}\);

\(B C\) là cạnh chung.

Do đó \(\triangle B C E = \triangle C B D\) (c.g.c)

\(\Rightarrow C E = B D\) (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\) nên \(B G = \frac{2}{3} B D\) và \(C G = \frac{2}{3} C E\) (tính chất trọng tâm).

Mà \(C E = B D\) (phần a) nên \(\frac{2}{3} C E = \frac{2}{3} B D\) hay \(C G = B G\).

Vậy tam giác \(G B C\) cân tại \(G\).

c) Ta có \(G B = \frac{2}{3} B D \Rightarrow G D = \frac{1}{3} B D \Rightarrow G B = 2 G D \Rightarrow G D = \frac{1}{2} G B\)

Chứng minh tương tự, ta có \(G E = \frac{1}{2} G C\).

Do đó \(G D + G E = \frac{1}{2} G B + \frac{1}{2} G C = \frac{1}{2} \left(\right. G B + G C \left.\right)\).

Mà \(G B + G C > B C\) (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).

Do đó \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\) (điều phải chứng minh).

a) Xét tam giác \(A B D\) có \(C\) là trung điểm của cạnh \(A D \Rightarrow B C\) là trung tuyến của tam giác \(A B D\).

Hơn nữa \(G \in B C\) và \(G B = 2 G C \Rightarrow G B = \frac{2}{3} B C \Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác \(A B D\).

Lại có \(A E\) là đường trung tuyến của tam giác \(A B D\) nên \(A , G , E\) thẳng hàng.

b) Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B D \Rightarrow D G\) là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra \(D G\) đi qua trung điểm của cạnh \(A B\) (điều phài chứng minh).

a) Ta có \(B F = 2 B E \Rightarrow B E = E F\).

Mà \(B E = 2 E D\) nên \(E F = 2 E D \Rightarrow D\) là trung điểm của \(E F \Rightarrow C D\) là đường trung tuyến của tam giác \(E F C\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(C F\) nên \(E K\) là đường trung tuyến của \(\triangle E F C\).

\(\triangle E F C\) có hai đường trung tuyến \(C D\) và \(E K\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\triangle E F C\).

b) Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\) nên \(\frac{G C}{D C} = \frac{2}{3}\) và \(G E = \frac{2}{3} E K\)

\(\Rightarrow G K = \frac{1}{3} E K \Rightarrow G E = 2 G K \Rightarrow \frac{G E}{G K} = 2\).

a) Ta có \(D M = D G \Rightarrow G M = 2 G D\).

Ta lại có \(G\) là giao điểm của \(B D\) và \(C E \Rightarrow G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\)

\(\Rightarrow B G = 2 G D\).

Suy ra \(B G = G M\).

Chứng minh tương tự ta được \(C G = G N\).

b) Xét tam giác \(G M N\) và tam giác \(G B C\) có \(G M = G B\) (chứng minh trên);

\(\hat{M G N} = \hat{B G C}\) (hai góc đối đỉnh);

\(G N = G C\) (chứng minh trên).

Do đó \(\triangle G M N = \triangle G B C\) (c.g.c)

\(\Rightarrow M N = B C\) (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên \(\triangle G M N = \triangle G B C \Rightarrow \hat{N M G} = \hat{C B G}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\hat{N M G}\) và \(\hat{C B G}\) ờ vị trí so le trong nên \(M N\) // \(B C\).

Gọi \(D\) là giao điểm của \(A G\) và \(B C \Rightarrow D B = D C\).

Ta có \(B G = \frac{2}{3} B E\); \(C G = \frac{2}{3} C F\) (tính chất trọng tâm).

Vì \(B E = C F\) nên \(B G = C G \Rightarrow \triangle B C G\) cân tại \(G\)

\(\Rightarrow \hat{G C B} = \hat{G B C}\)

Xét \(\triangle B F C\) và \(\triangle C E B\) có \(C F = B E\) (giả thiết);

\(\hat{G C B} = \hat{G B C}\) (chứng minh trên);

\(B C\) là cạnh chung.

Do đó \(\triangle B F C = \triangle C E B\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \hat{F B C} = \hat{E C B}\) (hai góc tưong ứng)

\(\Rightarrow \triangle A B C\) cân tại \(A \Rightarrow A B = A C\).

Từ đó suy ra \(\triangle A B D = \triangle A C D\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \hat{A D B} = \hat{A D C}\). (hai góc tương ứng)

Mà \(\hat{A D B} + \hat{A D C} = 18 0^{\circ} \Rightarrow \hat{A D B} = \hat{A D C} = 9 0^{\circ} \Rightarrow A D \bot B C\) hay \(A G \bot B C\).

Trong cuộc sống học đường, bên cạnh những tấm gương chăm ngoan, học giỏi thì vẫn còn tồn tại một số hiện tượng chưa tốt. Một trong những vấn đề mà em rất quan tâm đó là tình trạng học sinh nói chuyện riêng trong lớp học. Đây là một vấn đề khá phổ biến và cần được mỗi học sinh nhận thức rõ để khắc phục.

Trước hết, nói chuyện riêng trong lớp là hành động học sinh trao đổi, trò chuyện với bạn bè về những chuyện không liên quan đến bài học khi giáo viên đang giảng bài. Việc làm này tưởng chừng nhỏ nhưng lại gây ra nhiều ảnh hưởng không tốt. Khi nói chuyện, học sinh sẽ mất tập trung, không theo kịp nội dung bài học, dẫn đến kết quả học tập giảm sút. Không chỉ vậy, việc nói chuyện còn làm ảnh hưởng đến các bạn xung quanh và khiến lớp học trở nên ồn ào, làm gián đoạn bài giảng của thầy cô.

Có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng này. Một số học sinh chưa có ý thức tự giác trong học tập, dễ bị cuốn theo những câu chuyện ngoài lề. Bên cạnh đó, cũng có những bạn chưa hiểu hết tầm quan trọng của việc lắng nghe bài giảng. Ngoài ra, đôi khi do bài học khó hoặc chưa thật sự hấp dẫn nên học sinh dễ mất tập trung và tìm đến việc nói chuyện với bạn.

Để khắc phục tình trạng này, mỗi học sinh cần rèn luyện ý thức học tập nghiêm túc. Khi vào lớp, chúng ta nên tập trung lắng nghe thầy cô giảng bài, tích cực phát biểu và tham gia xây dựng bài. Đồng thời, các thầy cô và nhà trường cũng có thể tổ chức những giờ học sinh động, thú vị hơn để thu hút sự chú ý của học sinh.

Đối với bản thân em, em luôn cố gắng giữ trật tự trong giờ học, chăm chú nghe giảng và nhắc nhở bạn bè xung quanh cùng thực hiện tốt nội quy lớp học. Em tin rằng nếu mỗi học sinh đều có ý thức tốt thì lớp học sẽ trở thành một môi trường học tập nghiêm túc và hiệu quả.

Tóm lại, nói chuyện riêng trong lớp là một thói quen xấu cần được khắc phục. Mỗi học sinh cần tự rèn luyện ý thức và thái độ học tập đúng đắn để góp phần xây dựng một lớp học văn minh, kỉ luật và đạt kết quả học tập tốt hơn. Nếu chúng ta cùng cố gắng, chắc chắn môi trường học đường sẽ ngày càng tốt đẹp hơn.

+ Có cách đối diện hết sức lạc quan trước những thất bại của bản thân.

+ Biết vươn lên từ thất bại, quyết tâm chinh phục, hướng đến thành công.

+ Lấy những tấm gương của những người thành công để học tập, làm động lực.

- Biện pháp so sánh: 

+ Thực tế những người thành công luôn dùng thất bại như là một công cụ để học hỏi và hoàn thiện bản thân.

+ Tác dụng: cho thấy rõ vai trò của thất bại trong quá trình dẫn đến thành công và hoàn thiện nhân cách con người.

- Biện pháp liệt kê:

+ Thomas Edison đã thất bại gần 10.000 lần trước khi phát minh thành công bóng đèn điện. J.K. Rowling, tác giả của “Harry Potter”, đã bị hơn 10 nhà xuất bản từ chối bản thảo tập 1 của bộ sách. Giờ đây, bộ tiểu thuyết này của bà trở nên vô cùng nổi tiếng và đã được chuyển thể thành loạt phim rất ăn khách. Ngôi sao điện ảnh Thành Long đã không thành công trong lần đóng phim đầu tiên ở Hollywood. Thực tế bộ phim Hollywood đầu tay của anh, thất vọng lắm chứ, nhưng điều đó cũng đâu ngăn được anh vùng lên với những phim cực kì ăn khách sau đó như “Giờ cao điểm” hay “Hiệp sĩ Thượng Hải”.

+ Tác dụng: nhấn mạnh, khẳng định cụ thể có rất nhiều những tấm gương vươn lên thành công từ thất bại.

Trong cuộc sống, để đạt được thành công, con người cần phải có sự kiên trì và nỗ lực không ngừng. Ông cha ta từ xa xưa đã gửi gắm bài học quý giá ấy qua câu tục ngữ: “Có công mài sắt, có ngày nên kim.” Câu nói tuy ngắn gọn nhưng chứa đựng một ý nghĩa sâu sắc về sự cố gắng và lòng bền bỉ trong cuộc sống.

Trước hết, câu tục ngữ được hiểu theo nghĩa đen là nếu kiên trì mài một thanh sắt lớn thì cuối cùng cũng có thể trở thành một chiếc kim nhỏ. Tuy nhiên, ý nghĩa quan trọng của câu nói nằm ở nghĩa bóng. Câu tục ngữ muốn nhắn nhủ rằng nếu con người chăm chỉ, kiên trì và không bỏ cuộc trước khó khăn thì dù việc có khó đến đâu cũng có thể đạt được kết quả tốt. Thành công không đến ngay lập tức mà cần trải qua quá trình rèn luyện, cố gắng và tích lũy từng chút một.

Trong thực tế cuộc sống, bài học này luôn đúng. Nhiều người đã đạt được thành công nhờ sự kiên trì bền bỉ. Chẳng hạn, trong học tập, nếu một học sinh ban đầu học chưa tốt môn Toán nhưng biết chăm chỉ luyện tập, làm nhiều bài tập và không nản chí thì dần dần sẽ tiến bộ hơn. Hay những nhà khoa học nổi tiếng trên thế giới cũng phải trải qua rất nhiều lần thất bại trước khi đạt được thành tựu. Như vậy, chính sự cố gắng không ngừng đã giúp họ biến điều tưởng chừng như không thể thành có thể.

Tuy nhiên, trong cuộc sống hiện nay, vẫn có nhiều người dễ dàng bỏ cuộc khi gặp khó khăn. Họ muốn đạt kết quả nhanh chóng nhưng lại thiếu sự kiên nhẫn và quyết tâm. Điều đó khiến họ khó đạt được mục tiêu của mình. Vì vậy, mỗi người cần rèn luyện cho mình đức tính kiên trì, chăm chỉ và tinh thần không ngại thử thách.

Đối với học sinh, đặc biệt là chúng ta, câu tục ngữ trên càng có ý nghĩa quan trọng. Trong quá trình học tập, đôi khi chúng ta gặp những bài toán khó, những bài văn khó viết. Nếu kiên trì suy nghĩ, học hỏi và luyện tập thì chắc chắn chúng ta sẽ tiến bộ hơn từng ngày.

Tóm lại, câu tục ngữ “Có công mài sắt, có ngày nên kim” đã gửi gắm một bài học sâu sắc về sự kiên trì và nỗ lực. Đây là đức tính cần thiết giúp mỗi người vượt qua khó khăn và đạt được thành công trong cuộc sống. Vì vậy, mỗi chúng ta hãy luôn ghi nhớ và cố gắng rèn luyện bản thân để trở thành người tốt và có ích cho xã hội.