Bước 1: Suy ra tam giác \(G B C\) cân

Từ:

\(B G = \frac{2}{3} B E , C G = \frac{2}{3} C F\)

mà \(B E = C F\) ⇒

\(B G = C G\)

👉 Tam giác \(G B C\) cân tại \(G\)

🔷 Bước 2: Chứng minh \(A G\) là trung trực của \(B C\)

Ta đã biết:

• \(G\) là trọng tâm ⇒ \(A , G\) nằm trên trung tuyến từ \(A\)
• Trung tuyến từ \(A\) đi qua trung điểm của \(B C\)

Gọi \(D\) là trung điểm của \(B C\) ⇒ \(A , G , D\) thẳng hàng

Trong tam giác cân \(G B C\):

• \(B G = C G\)
• \(D\) là trung điểm của \(B C\)

⇒ \(G D \bot B C\)

🔷 Bước 3: Kết luận

Vì \(A , G , D\) thẳng hàng và \(G D \bot B C\), nên:

\(A G \bot B C\)

a) Chứng minh \(B G = G M\), \(C G = G N\)

Với điểm \(M\)

Ta có:

• \(D\) nằm giữa \(B\) và \(M\)
• \(D M = D G\) ⇒ \(D\) là trung điểm của \(G M\)

Mà \(G , D , B\) thẳng hàng ⇒ xét trên đường thẳng đó:

\(D G = \frac{1}{3} B D , B G = \frac{2}{3} B D\)

Vì \(D M = D G\) nên:

\(G M = G D + D M = 2 D G = \frac{2}{3} B D\)

⇒

\(G M = B G\)

Với điểm \(N\)

Tương tự:

• \(E N = E G\) ⇒ \(E\) là trung điểm của \(G N\)
• \(C , G , E\) thẳng hàng

Ta có:

\(E G = \frac{1}{3} C E , C G = \frac{2}{3} C E\) \(G N = G E + E N = 2 G E = \frac{2}{3} C E\)

⇒

\(G N = C G\)

b) Chứng minh \(M N = B C\) và \(M N \parallel B C\)

Nhận xét quan trọng

Từ câu a:

• \(G\) là trung điểm của \(B M\)
• \(G\) là trung điểm của \(C N\)

Xét tứ giác \(B M C N\)

Ta có:

• \(G\) là trung điểm của \(B M\)
• \(G\) là trung điểm của \(C N\)

⇒ Hai đường chéo \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại trung điểm

👉 Suy ra \(B M C N\) là hình bình hành

Hệ quả

Trong hình bình hành:

• Các cạnh đối song song:

\(M N \parallel B C\)

• Các cạnh đối bằng nhau:

\(M N = B C\)

a) Chứng minh \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\)

👉 Bước 1: Biểu diễn các điểm

Ta có:

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{D}}{3} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{3}\) \(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{B} = \frac{2 \left(\right. \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} \left.\right)}{3} - \overset{⃗}{B} = \frac{2 \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C}}{3}\)

👉 Bước 2: Trung điểm \(K\)

\(\overset{⃗}{K} = \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{A} + 5 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{6}\)

👉 Bước 3: Giao điểm \(G\)

Vì \(G \in E K\), nên:

\(\overset{⃗}{G} = \overset{⃗}{E} + t \left(\right. \overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{E} \left.\right)\)

Tính:

\(\overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + 5 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{B}}{6} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \frac{- \overset{⃗}{A} - 3 \overset{⃗}{B} + 3 \overset{⃗}{C}}{6}\)

👉 Vì \(G \in A C\)

Nên:

\(\overset{⃗}{G} = x \overset{⃗}{A} + \left(\right. 1 - x \left.\right) \overset{⃗}{C}\)

Giải hệ (so hệ số), ta được:

\(t = \frac{2}{3}\)

👉 Suy ra:

\(\overset{⃗}{G} = \overset{⃗}{E} + \frac{2}{3} \left(\right. \overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{E} \left.\right) = \frac{\overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{F} + \overset{⃗}{C}}{3}\)

b) Tính các tỉ số

🔸 1. Tỉ số \(\frac{G E}{G K}\)

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\), nằm trên trung tuyến \(E K\), nên:

\(E G : G K = 2 : 1\)

⇒

\(\boxed{\frac{G E}{G K} = 2}\)

🔸 2. Tỉ số \(\frac{G C}{D C}\)

Ta có:

• \(G\) là trọng tâm tam giác \(E F C\)
• \(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{E} + \overset{⃗}{F} + \overset{⃗}{C}}{3}\)

Thay biểu thức vào rút gọn, cuối cùng được:

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{A} + 2 \overset{⃗}{C}}{3}\)

👉 So với \(D\):

\(\overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2}\)

👉 Xét trên đoạn \(A C\):

Ta có:

\(A G : G C = 1 : 2\)

⇒

\(G C = \frac{2}{3} A C , D C = \frac{1}{2} A C\)

👉 Suy ra:

\(\frac{G C}{D C} = \frac{2 / 3}{1 / 2} = \frac{4}{3}\)

a) Chứng minh \(A , G , E\) thẳng hàng

👉 Biểu diễn điểm \(G\)

Vì \(B G = 2 G C\), ta có:

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C}}{3}\)

Thay \(\overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2}\):

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \cdot \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2}}{3} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{3}\)

👉 Xét các vectơ

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D}}{2}\)

Tính:

\(\overset{⃗}{G} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{3} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D} - 2 \overset{⃗}{A}}{3}\) \(\overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D}}{2} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D} - 2 \overset{⃗}{A}}{2}\)

👉 Suy ra:

\(\overset{⃗}{G} - \overset{⃗}{A} = \frac{2}{3} \left(\right. \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} \left.\right)\)

⇒ \(\overset{⃗}{A G}\) cùng phương \(\overset{⃗}{A E}\)

b) Chứng minh \(D G\) đi qua trung điểm của \(A B\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\):

\(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2}\)

👉 Xét đường thẳng \(D G\)

\(\overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A}\) \(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D}}{3}\)

👉 Xét vectơ \(\overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{D}\)

\(\overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} - \left(\right. 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} \left.\right)\)

Thay \(\overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2}\) (hoặc rút gọn trực tiếp theo hệ trước), sau biến đổi sẽ được:

\(\overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{D} = \lambda \left(\right. \overset{⃗}{G} - \overset{⃗}{D} \left.\right)\)

(với \(\lambda\) là một số thực)

⇒ \(M , D , G\) thẳng hàng.

a) Chứng minh \(B D = C E\)

Vì \(D\) là trung điểm của \(A C\), \(E\) là trung điểm của \(A B\), nên:

\(A D = D C , A E = E B\)

Xét hai tam giác \(A B D\) và \(A C E\):

• \(A B = A C\) (giả thiết)
• \(A D = A E\) (vì cùng bằng nửa cạnh tương ứng)
• \(\angle B A D = \angle C A E\) (chung đỉnh \(A\))

👉 Suy ra:

\(\triangle A B D = \triangle A C E \left(\right. \text{c}.\text{g}.\text{c} \left.\right)\)

⇒ \(B D = C E\)

b) Chứng minh tam giác \(G B C\) cân

Ta có:

\(B G = \frac{2}{3} B D , C G = \frac{2}{3} C E\)

Mà theo câu a:

\(B D = C E\)

⇒

\(B G = C G\)

👉 Tam giác \(G B C\) cân tại \(G\).

c) Chứng minh \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

Ta có:

\(G D = \frac{1}{3} B D , G E = \frac{1}{3} C E\)

⇒

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right)\)

Từ câu a: \(B D = C E\), nên:

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D\)

Mặt khác, trong tam giác \(A B C\), ta có bất đẳng thức quen thuộc:

\(B D > \frac{3}{4} B C\)

👉 Suy ra:

\(G D + G E = \frac{2}{3} B D > \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} B C = \frac{1}{2} B C\)

Trong tam giác, trọng tâm \(G\) chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ \(2 : 1\), nên:

\(B G = \frac{2}{3} B M , C G = \frac{2}{3} C N\)

Suy ra:

\(B M = \frac{3}{2} B G , C N = \frac{3}{2} C G\)

BM+CN=23​(BG+CG)

Trong tam giác \(B G C\), ta có:

\(B G + C G > B C\)

Nhân hai vế với \(\frac{3}{2}\):

\(B M + C N = \frac{3}{2} \left(\right. B G + C G \left.\right) > \frac{3}{2} B C\)

Kết luận:

\(\boxed{B M + C N > \frac{3}{2} B C}\)

Vì \(2022\) là số chẵn nên:

Suy ra:

\(\frac{2023}{x^{2022} + 2023}\)

Mẫu số càng nhỏ thì phân thức càng lớn.
Mẫu nhỏ nhất khi:

Khi đó:

Vậy giá trị lớn nhất của phân thức là 1.

Amax​=1+2022=2023

Amax​=2023​

Giá trị lớn nhất đạt được khi \(x = 0\).

a) Chứng minh \(\triangle B E D = \triangle B A D\)

Xét hai tam giác \(B E D\) và \(B A D\):

• \(\angle B E D = 90^{\circ}\) (vì \(D E \bot B C\))
• \(\angle B A D = 90^{\circ}\) (vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\))

⇒ \(\angle B E D = \angle B A D\)

• \(B D\) là cạnh chung
• \(B D\) là tia phân giác góc \(A B C\)
  ⇒ \(\angle E B D = \angle D B A\)

Vậy hai tam giác vuông có:

• 1 cạnh huyền chung \(B D\)
• 1 góc nhọn bằng nhau

⇒ \(\triangle B E D = \triangle B A D\) (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Chứng minh tam giác \(B C F\) cân tại \(B\)

Từ câu a) ta có:

\(B E = B A\)

Xét hai tam giác \(B E F\) và \(B A F\):

• \(B E = B A\)
• \(B F\) chung
• \(\angle E B F = \angle F B A\)

⇒ \(\triangle B E F = \triangle B A F\)

Suy ra:

\(B F = B F \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} C F = C B\)

Do đó:

\(B C = B F\)

⇒ Tam giác \(B C F\) cân tại \(B\).

a) Gộp các hạng tử cùng bậc:

\(P \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} + 5 x^{2} + \left(\right. - 3 x + x \left.\right) + 2\) \(P \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 2\)

Gộp các hạng tử cùng bậc:

\(Q \left(\right. x \left.\right) = - x^{3} + \left(\right. - 3 x^{2} - 2 x^{2} \left.\right) + 2 x + 6\) \(Q \left(\right. x \left.\right) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 6\)

b) P(x)+Q(x)=(2x3+5x2−2x+2)+(−x3−5x2+2x+6)

Gộp các hạng tử cùng bậc:

• \(2 x^{3} - x^{3} = x^{3}\)
• \(5 x^{2} - 5 x^{2} = 0\)
• \(- 2 x + 2 x = 0\)
• \(2 + 6 = 8\)

\(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right) = x^{3} + 8\)

Tính \(P \left(\right. x \left.\right) - Q \left(\right. x \left.\right)\)

\(P \left(\right. x \left.\right) - Q \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 2 \left.\right) - \left(\right. - x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 6 \left.\right)\)

Đổi dấu và gộp:

\(= 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 2 + x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 6\)

Gộp lại:

• \(2 x^{3} + x^{3} = 3 x^{3}\)
• \(5 x^{2} + 5 x^{2} = 10 x^{2}\)
• \(- 2 x - 2 x = - 4 x\)
• \(2 - 6 = - 4\)

\(P \left(\right. x \left.\right) - Q \left(\right. x \left.\right) = 3 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x - 4\)

Kết quả cuối cùng

\(P \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 2\) \(Q \left(\right. x \left.\right) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 6\) \(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right) = x^{3} + 8\) \(P \left(\right. x \left.\right) - Q \left(\right. x \left.\right) = 3 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x - 4\)

a) n(M)=7

b) 1/7