Cho góc xOy. Lấy A, B thuộc tia Ox sao cho OA lớn hơn OB. Lấy C, D thuộc tia Oy sao cho OC bằng OA và OD bằng OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC.

a) Chứng minh AD = BC

Xét hai tam giác OAD và OBC:

Ta có

OA = OC (theo giả thiết)

OD = OB (theo giả thiết)

Góc AOD = góc COB (hai góc đối đỉnh)

Vậy tam giác OAD bằng tam giác OBC (trường hợp cạnh – góc – cạnh).

Suy ra AD = BC.

b) Chứng minh tam giác ABE bằng tam giác CDE

Vì AD cắt BC tại E nên

AE = ED (E là giao điểm của hai cạnh tương ứng trong hai tam giác bằng nhau).

Xét hai tam giác ABE và CDE:

Ta có

AB = CD (do OA − OB = OC − OD)

AE = ED (chứng minh trên)

Góc AEB = góc CED (hai góc đối đỉnh)

Vậy tam giác ABE bằng tam giác CDE (cạnh – góc – cạnh).

c) Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy

Từ câu b suy ra BE = ED nên E cách đều hai cạnh của góc xOy.

Vậy E nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Do đó OE là tia phân giác của góc xOy.

Cho góc xOy (0° < xOy < 180°). Om là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm I bất kì trên Om. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến Ox và Oy.

a) Chứng minh tam giác IOE bằng tam giác IOF

Vì E là chân đường vuông góc từ I xuống Ox nên IE vuông góc Ox, suy ra góc IEO bằng 90°.

Tương tự, F là chân đường vuông góc từ I xuống Oy nên IF vuông góc Oy, suy ra góc IFO bằng 90°.

Xét hai tam giác IOE và IOF:

IO là cạnh chung.

Góc IEO bằng góc IFO (đều bằng 90°).

Vì Om là tia phân giác của góc xOy và I nằm trên Om nên góc EOI bằng góc IOF.

Vậy tam giác IOE bằng tam giác IOF (trường hợp cạnh huyền và góc nhọn).

b) Chứng minh EF vuông góc Om

Từ câu a suy ra IE bằng IF.

Vậy điểm I cách đều hai điểm E và F nên I nằm trên đường trung trực của đoạn EF.

Mà I thuộc tia Om nên Om chính là đường trung trực của EF.

Suy ra EF vuông góc Om.

Cho tam giác ABC có góc A bằng 120°. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Tia phân giác của góc ADC cắt AC tại I. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I trên AB và BC. Chứng minh IH = IK.

Vì AD là tia phân giác của góc A nên góc BAD bằng góc DAC.

Xét tam giác ADC, vì DI là tia phân giác của góc ADC nên khoảng cách từ điểm I đến hai cạnh AD và DC bằng nhau.

Suy ra khoảng cách từ I đến AD bằng khoảng cách từ I đến DC.

Mà H là hình chiếu của I trên AB nên IH là khoảng cách từ I đến AB.

K là hình chiếu của I trên BC nên IK là khoảng cách từ I đến BC.

Do AD là tia phân giác của góc A nên hai cạnh AB và AC đối xứng qua AD. Từ đó suy ra khoảng cách từ I đến AB bằng khoảng cách từ I đến AC.

Lại vì I nằm trên AC nên khoảng cách từ I đến AC bằng khoảng cách từ I đến DC.

Suy ra IH bằng IK.

Cho tam giác ABC có góc A bằng 120°. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Tia phân giác của góc ADC cắt AC tại I. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I trên AB và BC. Chứng minh IH = IK.

Vì AD là tia phân giác của góc A nên góc BAD bằng góc DAC.

Xét tam giác ADC, vì DI là tia phân giác của góc ADC nên khoảng cách từ điểm I đến hai cạnh AD và DC bằng nhau.

Suy ra khoảng cách từ I đến AD bằng khoảng cách từ I đến DC.

Mà H là hình chiếu của I trên AB nên IH là khoảng cách từ I đến AB.

K là hình chiếu của I trên BC nên IK là khoảng cách từ I đến BC.

Do AD là tia phân giác của góc A nên hai cạnh AB và AC đối xứng qua AD. Từ đó suy ra khoảng cách từ I đến AB bằng khoảng cách từ I đến AC.

Lại vì I nằm trên AC nên khoảng cách từ I đến AC bằng khoảng cách từ I đến DC.

Suy ra IH bằng IK.

Xét trọng tâm G:

Vì BE và CF là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của △ABC.

Ta có: BG=2/3BE và CG=2/3CF.

Mà BE=CF (gt) ⇒BG=CG.

Chứng minh △ABC cân:

Xét △BGC có BG=CG⇒△BGC cân tại G.

⇒ GBC= GCB .

Xét △EBC và △FCB có:BC là cạnh chung.

EBC= FCB(chứng minh trên).

BE=CF (gt).

⇒△EBC=△FCB (c.g.c).

⇒EC=FB (hai cạnh tương ứng).

Vì E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB nên:

AC=2EC và AB=2FB.

⇒AB=AC⇒△ABC cân tại A.

Vậy

Trong △ABC cân tại A, đường trung tuyến AG đồng thời là đường cao.

Vậy AG⊥BC. (đpcm)

a)

Vì BE gấp hai lần ED ⇒ E chia BD theo tỉ lệ hai : một.

Tương tự, BF gấp hai lần BE suy ra F được xác định sao cho E là trung điểm theo tỉ lệ thích hợp.

Suy ra G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác EFC

Suy ra G là trọng tâm tam giác EFC.

b)

Vì G là trọng tâm suy ra

GE bằng hai phần ba EK suy ra tỉ số GE trên GK bằng hai.

Mặt khác, D là trung điểm AC suy ra

GC bằng hai phần ba DC suy ra tỉ số GC trên DC bằng hai.

Vậy

Tỉ số GE trên GK bằng hai và tỉ số GC trên DC bằng hai.

a)

Vì BG bằng hai lần GC nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

E là trung điểm BD.

Suy ra Ba điểm A, G, E thẳng hàng.

b)

C là trung điểm của AD.

G là trọng tâm nên nằm trên các đường trung tuyến.

Suy ra Đường thẳng DG đi qua trung điểm của AB.

a)

Vì tam giác ABC cân tại A suy ra AB = AC

Suy ra hai trung tuyến tương ứng BD = CE.

b)

G là trọng tâm suy ra nằm trên trục đối xứng của tam giác cân

Suy ra GB = GC

Suy ra tam giác GBC là tam giác cân.

c)

D, E là trung điểm suy ra DE = 1/2 BC

Xét tam giác DGE:

GD + GE > DE (bất đẳng thức tam giác)

suy ra GD + GE > 1/2 BC

a)

Vì tam giác ABC cân tại A suy ra AB = AC

Suy ra hai trung tuyến tương ứng BD = CE.

b)

G là trọng tâm suy ra nằm trên trục đối xứng của tam giác cân

Suy ra GB = GC

Suy ra tam giác GBC là tam giác cân.

c)

D, E là trung điểm suy ra DE = 1/2 BC

Xét tam giác DGE:

GD + GE > DE (bất đẳng thức tam giác)

suy ra GD + GE > 1/2 BC

Ta có tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) ⇒

\(A B = A C , \angle B = \angle C .\)

Gọi:

• \(B F\) là tia phân giác góc \(B\) (\(F \in A C\)),
• \(C E\) là tia phân giác góc \(C\) (\(E \in A B\)).

a) Chứng minh \(\angle A B F = \angle A C E\)

Vì \(B F\) là phân giác góc \(B\), nên:

\(\angle A B F = \frac{1}{2} \angle A B C .\)

Vì \(C E\) là phân giác góc \(C\), nên:

\(\angle A C E = \frac{1}{2} \angle A C B .\)

Mà tam giác cân tại \(A\) nên:

\(\angle A B C = \angle A C B .\)

Suy ra:

\(\angle A B F = \angle A C E .\)

b) Chứng minh tam giác \(A E F\) cân

Ta có:

• \(A B = A C\)
• \(\angle A B F = \angle A C E\) (câu a)

Xét hai tam giác \(A B F\) và \(A C E\):

• \(A B = A C\)
• \(\angle A B F = \angle A C E\)
• \(\angle A F B = \angle A E C\)
  (vì mỗi góc bằng \(90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B\))

⇒ Hai tam giác bằng nhau.

Suy ra:

\(A F = A E .\)

Vậy tam giác \(A E F\) cân tại \(A\).c) Gọi \(I = B F \cap C E\). Chứng minh \(\triangle I B C\) và \(\triangle I E F\) cân

1️⃣ Tam giác \(I B C\)

Vì tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), nên hai phân giác \(B F\) và \(C E\) đối xứng nhau qua trục đối xứng của tam giác.

Giao điểm \(I\) của hai phân giác là tâm nội tiếp của tam giác.

Trong tam giác cân:

• Tâm nội tiếp nằm trên trục đối xứng.
• Do đó:

\(I B = I C .\)

Suy ra:

\(\triangle IBCcântạiI\)

2️⃣ Tam giác \(I E F\)

Vì \(A F = A E\) (câu b), nên \(A\) nằm trên trung trực của \(E F\).

Mặt khác \(I\) cũng nằm trên trục đối xứng của tam giác.

Suy ra:

\(I E = I F .\)

Vậy:

\(\triangle IEFcântạiI\)

Kết luận

<ABF=<ACE

tam giác AEF cân tại A

Tam giác IBC và tam IEF cân tại I