Phần a) Dung tích thùng nước

1. Xác định kích thước hình trụ:
2. • Chiều cao \(h = 1 \textrm{ } \text{m}\).
   • Chu vi đáy hình trụ là cạnh \(2 \textrm{ } \text{m}\) củahình chữ nhật: \(C = 2 \pi r = 2 \textrm{ } \text{m}\).
3. Tính bán kính: \(r = \frac{1}{\pi} \textrm{ } \text{m}\).
4. Tính thể tích: \(V = \pi r^{2} h = \pi \left(\left(\right. \frac{1}{\pi} \left.\right)\right)^{2} \times 1 = \frac{1}{\pi} \textrm{ } \text{m}^{3}\).
5. Làm tròn: Với \(\pi \approx 3.14\), \(V \approx \frac{1}{3.14} \approx 0.32 \textrm{ } \text{m}^{3}\).

Kết quả phần a: Thùng đựng được khoảng\(0.32 \textrm{ } \text{m}^{3}\) nước.

Phần b) Lượng nước cần lấy ra để vớt bóng

• Yêu cầu: Lấy ít nhất bao nhiêu nước từ vòiđể lấy được bóng.
• Ý nghĩa: Em bé cần hạ mực nước xuống đủthấp để có thể cầm nắm được quả bóng.
• Thiếu dữ kiện: Đề bài không cho kích thước(đường kính hoặc thể tích) của quả bóng.
• Nguyên tắc giải: Lượng nước cần lấy ra ítnhất sẽ bằng thể tích nước ban đầu trừ đilượng nước còn lại khi mực nước hạ xuốngđến mức có thể với tới quả bóng.

Kết luận phần b: Không thể tính toán chính xácdo thiếu thông tin về quả bóng. Tuy nhiên,nguyên tắc là phảihạ mực nước xuống đến mứccó thể với tới quả bóng.

Phần a) Chứng minh 4 điểm \(O , I , E , D\)cùng thuộc 1 đường tròn

1. Tìm tọa độ điểm trung gian:
2. • \(I\) là trung điểm \(O B\) nên \(I \left(\right. \frac{R}{2} ; 0 \left.\right)\)
   • Tìm tọa độ \(E\): Là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(C I\) và đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), ta được \(E \left(\right. \frac{4 R}{5} ; \frac{3 R}{5} \left.\right)\) (loại bỏ điểm \(C\))
3. Kiểm tra: Xét đường tròn đi qua \(O , I , D\) có phương trình \(x^{2} + y^{2} - \frac{R}{2} x - R y = 0\). Thay tọa độ \(E\) vào vế trái, ta được giá trị bằng 0.

Suy ra 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn.

Phần b) Chứng minh \(A H . A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3 O H\)

1. Tìm tọa độ \(H\): Giao điểm của \(A E\) và \(C D\)(trục \(O y\)), ta được \(H \left(\right. 0 ; \frac{R}{3} \left.\right)\)
2. Tính tích độ dài:
3. • \(A H = \frac{R \sqrt{10}}{3}\); \(A E = \frac{3 R \sqrt{10}}{5}\)
   • \(A H . A E = \frac{R \sqrt{10}}{3} \cdot \frac{3 R \sqrt{10}}{5} = 2 R^{2}\)
4. Chứng minh \(O A = 3 O H\): \(O A = R\) và \(O H = \frac{R}{3}\) nên \(O A = 3 O H\) đúng theo yêu cầu.

Phần c) Chứng minh \(Q , K , I\) thẳng hàng

1. Tìm tọa độ các điểm:
2. • \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(B D\), có tọa độ \(K \left(\right. \frac{R}{2} ; \frac{R}{2} \left.\right)\)
   • \(Q\) là giao điểm của \(A D\) và \(B E\), ta được \(Q \left(\right. \frac{R}{2} ; \frac{3 R}{2} \left.\right)\)
3. Ba điểm \(Q \left(\right. \frac{R}{2} ; \frac{3 R}{2} \left.\right)\), \(K \left(\right. \frac{R}{2} ; \frac{R}{2} \left.\right)\), \(I \left(\right. \frac{R}{2} ; 0 \left.\right)\)đều có hoành độ bằng \(\frac{R}{2}\) nên nằm trên đường thẳng \(x = \frac{R}{2}\).

Suy ra 3 điểm thẳng hàng.

Phần a) Giải phương trình khi \(m = 2\)

• Thay \(m = 2\) vào phương trình \(x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0\).
• Ta được phương trình \(x^{2} - 4 x + 3 = 0\).
• Phương trình này có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = 3\).

Phần b) Tìm \(m\)

• Phương trình ban đầu có thể viết lại thành \(\left(\right. x - m \left.\right)^{2} = 1\).
• Do đó, hai nghiệm phân biệt \(x_{1} < x_{2}\) luôn là \(x_{1} = m - 1\) và \(x_{2} = m + 1\).
• Thay các nghiệm này vào điều kiện \(2 x_{1}^{2} - x_{2} = - 2\).
• Ta có phương trình: \(2 \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m + 1 \left.\right) = - 2\).
• Sau khi rút gọn, ta được phương trình bậc hai cho \(m\): \(2 m^{2} - 5 m + 3 = 0\).
• Các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(1\) và \(\frac{3}{2}\).