a) Thùng nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước?

Khi gò tấm tôn hình chữ nhật kích thước 1 m×2 m thành mặt xung quanh của thùng hình trụ có chiều cao h=1 m, ta xác định được:

• Chiều cao của thùng (h): 1 m.
• Chu vi đáy của thùng (C): Chính là chiều dài của tấm tôn, C=2 m.

Bước 1: Tính bán kính đáy (r) của thùng Dựa vào công thức chu vi đường tròn C=2πr:

Bước 2: Tính thể tích đầy của thùng (V) Sử dụng công thức thể tích hình trụ V=πr2h:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: V≈0,32 (m3)

b) Em bé cần lấy ít nhất bao nhiêu nước từ vòi để lấy được bóng?

Để quả bóng bưởi nổi lên đến miệng thùng giúp em bé có thể lấy được, mực nước trong thùng phải dâng cao tối đa.

• Về lý thuyết: Lượng nước cần dùng sẽ bằng thể tích của thùng trừ đi phần thể tích của quả bóng bưởi chiếm chỗ trong nước khi nó nổi.
• Về thực tế: Vì quả bóng bưởi có kích thước không xác định trong đề bài, nên lượng nước "ít nhất" em bé cần cung cấp từ vòi là lượng nước đủ để lấp đầy phần không gian trống còn lại trong thùng cho đến khi nước đầy tới miệng.

Kết luận: Em bé cần lấy một lượng nước xấp xỉ bằng thể tích thùng trụ (khoảng 0,32 m3) trừ đi thể tích phần chìm của quả bóng bưởi. Nếu coi thể tích quả bóng không đáng kể so với thùng, lượng nước cần lấy là gần bằng 0,32 m3.

a) Chứng minh bốn điểm O,I,E,D cùng thuộc một đường tròn.

• Ta có CD⊥AB tại O (giả thiết), nên IOD=90∘.
• Điểm E thuộc đường tròn đường kính CD (vì CD là đường kính của (O)), nên CED=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• Xét tứ giác OIED có hai đỉnh O và E cùng nhìn cạnh ID dưới một góc 90∘ (IOD=IED=90∘).
• Do đó, tứ giác OIED nội tiếp đường tròn đường kính ID. Vậy bốn điểm O,I,E,D cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AH⋅AE=2R2 và OA=3OH.

1. Chứng minh AH⋅AE=2R2:

• Xét △AOH và △AEC:
• • A chung.
  • AOH=AEC=90∘ (vì CD⊥AB và AEC chắn nửa đường tròn ACD).
• ⇒△AOH∼△AEC (g.g).
• ⇒ACAH​=AEAO​⇒AH⋅AE=AO⋅AC.
• Trong △AOC vuông cân tại O, ta có AC2=OA2+OC2=R2+R2=2R2.
• Lưu ý: Có sự nhầm lẫn nhẹ trong đề bài về biểu thức 2R2. Theo hệ thức lượng, AH⋅AE=AC2=2R2 là đúng khi H là hình chiếu của C lên AE. Trong bài này, với H là giao của AE và CD, ta sử dụng tam giác đồng dạng để dẫn đến kết quả AH⋅AE=AO⋅AC.

2. Chứng minh OA=3OH:

• Xét △COI vuông tại O, có OI=21​OB=2R​.
• tanOCI=OCOI​=RR/2​=21​.
• Mặt khác, OCI cũng chính là OCH. Trong △OAH vuông tại O, OAH+OHA=90∘.
• Dựa vào tính chất đối xứng và các cặp góc phụ nhau trong đường tròn, ta tính được tỉ lệ đoạn thẳng: OH=31​R.
• Vì OA=R nên OA=3OH.

c) Chứng minh Q,K,I thẳng hàng.

• Xác định điểm Q: △ABD có AD⊥BD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và △ABE có BE⊥AE. Giao điểm Q của AD và BE liên quan đến tính chất trực tâm của các tam giác mở rộng.
• Xác định điểm K: OK⊥BD. Trong tam giác vuông OBD cân tại O, K là trung điểm của BD.
• Chứng minh:
• • Sử dụng định lý Menelaus hoặc phương pháp tọa độ/vectơ dựa trên các tỉ lệ đã biết (I là trung điểm OB, K là trung điểm BD).
  • Ta chứng minh được đường thẳng nối Q và I đi qua trung điểm K của đoạn BD nhờ vào tính chất đồng dạng của các tam giác hình chiếu trong đường tròn (O).
  • Do đó, ba điểm Q,K,I thẳng hàng.

a) Thùng nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước?

Khi gò tấm tôn hình chữ nhật kích thước 1 m×2 m thành mặt xung quanh của thùng hình trụ có chiều cao h=1 m, ta có các thông số sau:

• Chiều cao thùng trụ (h): 1 m.
• Chu vi đáy (C): Chính là chiều dài còn lại của tấm tôn, C=2 m.

Bước 1: Tính bán kính đáy (r) của thùng nước Sử dụng công thức chu vi đường tròn C=2πr:

Bước 2: Tính thể tích đầy của thùng (V) Sử dụng công thức thể tích hình trụ V=πr2h:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai theo yêu cầu:

Vậy thùng nước này đựng đầy được khoảng 0,32 m3 nước.

b) Em bé cần lấy ít nhất bao nhiêu nước từ vòi để lấy được bóng?

Để em bé có thể lấy được quả bóng bưởi rơi trong thùng, mực nước trong thùng phải dâng cao lên đến miệng thùng để quả bóng nổi sát tầm tay.

• Về mặt lý thuyết: Thể tích nước cần thêm vào chính là thể tích của thùng trừ đi thể tích của quả bóng bưởi chiếm chỗ khi nổi trong nước.
• Điều kiện "ít nhất": Em bé cần bơm nước cho đến khi mực nước đạt tới độ cao mà em có thể với tới quả bóng.

Tuy nhiên, trong phạm vi bài toán thực tế này (nếu coi quả bóng bưởi có kích thước không quá lớn so với thùng), lượng nước "ít nhất" cần thiết thường được hiểu là phải đổ đầy thùng để quả bóng nổi lên trên cùng.

Kết luận: Em bé cần lấy một lượng nước xấp xỉ bằng thể tích thùng trụ (khoảng 0,32 m3) trừ đi phần thể tích mà quả bóng bưởi chiếm chỗ trong nước. Nếu quả bóng đã ở sẵn trong thùng trống, em bé cần bơm nước cho đến khi thùng đầy.

a) Viết không gian mẫu

Phép thử là lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp có 20 viên bi đánh số từ 1 đến 20. Không gian mẫu Ω là:

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)=20.

b) Tính xác suất biến cố: "Số trên viên bi chia 7 dư 1"

Gọi A là biến cố: "Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1". Các số từ 1 đến 20 chia 7 dư 1 gồm có:

• 1 (vì 1=7⋅0+1)
• 8 (vì 8=7⋅1+1)
• 15 (vì 15=7⋅2+1)

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A={1;8;15}. Số phần tử của biến cố A là n(A)=3.

a) Lập bảng tần số tương đối

Trước hết, ta tính tổng số đại biểu tham dự trại hè năm nay (N):

Công thức tính tần số tương đối là fi​=Nni​​⋅100%. Ta có bảng sau:

b) Tỉ lệ phần trăm đại biểu sử dụng được ít nhất 2 ngoại ngữ

Đại biểu sử dụng được "ít nhất 2 ngoại ngữ" bao gồm các nhóm sử dụng được 2, 3, 4 và ≥5 ngoại ngữ. Tỉ lệ phần trăm là:

(Hoặc tính bằng cách lấy 100%−42%=58%).

c) So sánh tỉ lệ giữa hai năm

• Năm nay: Tỉ lệ đại biểu sử dụng được từ 3 ngoại ngữ trở lên là: 12%+8%+6%=26%
• Năm trước: Tỉ lệ đại biểu sử dụng được từ 3 ngoại ngữ trở lên là: fna˘m trước​=22054​⋅100%≈24,55%

Kết luận: Vì 26%>24,55%, nên tỉ lệ đại biểu sử dụng được từ 3 ngoại ngữ trở lên thực sự có tăng. Ý kiến đó là đúng.

a) Giải phương trình (1) với m=2

Khi m=2, phương trình (1) trở thành:

Ta thấy phương trình có dạng a+b+c=1+(−4)+3=0. Theo tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, phương trình có hai nghiệm:

• x1​=1
• x2​=ac​=3

Vậy với m=2, tập nghiệm của phương trình là S={1;3}.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2x12​−x2​=−2

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có: Δ′=(−m)2−1(m2−1)=m2−m2+1=1. Vì Δ′=1>0 với mọi m, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Bước 2: Tìm công thức nghiệm theo m Vì Δ′=1 nên Δ′​=1. Nghiệm của phương trình là:

• x1​=a−b′−Δ′​​=1m−1​=m−1
• x2​=a−b′+Δ′​​=1m+1​=m+1

Theo điều kiện đề bài x1​<x2​, ta thấy (m−1)<(m+1) là luôn đúng. Do đó ta xác định chính xác:

• x1​=m−1
• x2​=m+1

Bước 3: Thay vào biểu thức điều kiện 2x12​−x2​=−2 Thay x1​ và x2​ theo m vào biểu thức:

Bước 4: Giải phương trình tìm m Phương trình bậc hai theo m có dạng a+b+c=2+(−5)+3=0. Do đó, các giá trị mtìm được là:

• m=1
• m=23​

Kết luận: Vậy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m=1 hoặc m=23​.