a) Tính

\(\left(\right. x - 2 y \left.\right) \left(\right. 3 x y + 6 x^{2} + x \left.\right)\)

Phân phối nhân từng hạng tử trong dấu ngoặc thứ nhất với từng hạng tử trong dấu ngoặc thứ hai:

\(= x \cdot \left(\right. 3 x y + 6 x^{2} + x \left.\right) - 2 y \cdot \left(\right. 3 x y + 6 x^{2} + x \left.\right)\)

Tính từng phần:

• \(x \cdot 3 x y = 3 x^{2} y\)
• \(x \cdot 6 x^{2} = 6 x^{3}\)
• \(x \cdot x = x^{2}\)
• \(- 2 y \cdot 3 x y = - 6 x y^{2}\)
• \(- 2 y \cdot 6 x^{2} = - 12 x^{2} y\)
• \(- 2 y \cdot x = - 2 x y\)

Kết hợp lại:

\(3 x^{2} y + 6 x^{3} + x^{2} - 6 x y^{2} - 12 x^{2} y - 2 x y\)

Nhóm các hạng tử cùng loại:

• \(3 x^{2} y - 12 x^{2} y = - 9 x^{2} y\)
• \(6 x^{3}\) (đơn độc)
• \(x^{2}\) (đơn độc)
• \(- 6 x y^{2}\) (đơn độc)
• \(- 2 x y\) (đơn độc)

Kết quả:

\(\boxed{6 x^{3} + x^{2} - 9 x^{2} y - 6 x y^{2} - 2 x y}\)

b) Tính

\(\frac{18 x^{4} y^{3} - 24 x^{3} y^{4} + 12 x^{3} y^{3}}{- 6 x^{2} y^{3}}\)

Chia từng hạng tử trong tử số cho mẫu số:

• \(\frac{18 x^{4} y^{3}}{- 6 x^{2} y^{3}} = - 3 x^{4 - 2} y^{3 - 3} = - 3 x^{2}\)
• \(\frac{- 24 x^{3} y^{4}}{- 6 x^{2} y^{3}} = 4 x^{3 - 2} y^{4 - 3} = 4 x y\)
• \(\frac{12 x^{3} y^{3}}{- 6 x^{2} y^{3}} = - 2 x^{3 - 2} y^{3 - 3} = - 2 x\)

Kết hợp lại:

\(- 3 x^{2} + 4 x y - 2 x\)

Kết quả:

\(\boxed{- 3 x^{2} + 4 x y - 2 x}\)

a) Xác định bậc và các hạng tử của đa thức \(P\):

• Các hạng tử (các phần riêng biệt trong đa thức):
  \(2 x^{2} y , - 3 x , 8 y^{2} , - 1\)
• Bậc của từng hạng tử là tổng số mũ của các biến trong hạng tử đó:
• • \(2 x^{2} y\) có bậc \(2 + 1 = 3\)
  • \(- 3 x\) có bậc \(1\)
  • \(8 y^{2}\) có bậc \(2\)
  • \(- 1\) là hạng tử tự do, bậc \(0\)
• Bậc của đa thức \(P\) là bậc lớn nhất trong các hạng tử, tức là:
  \(\boxed{3}\)

b) Tính giá trị của đa thức \(P\) tại \(x = - 1\), \(y = \frac{1}{2}\):

Thay vào biểu thức:

\(P = 2 \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} \times \frac{1}{2} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) + 8 \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} - 1\)

Tính từng phần:

• \(2 \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} \times \frac{1}{2} = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 1\)
• \(- 3 \left(\right. - 1 \left.\right) = + 3\)
• \(8 \times \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} = 8 \times \frac{1}{4} = 2\)
• \(- 1\) là hạng tử tự do

Cộng lại:

\(1 + 3 + 2 - 1 = 5\)

Vậy giá trị của \(P\) tại \(x = - 1 , y = \frac{1}{2}\) là:

\(\boxed{5}\)

2. Với hai đa thức

\(P = 5 x y^{2} - 3 x^{2} + 2 y - 1\)

và

\(Q = - x y^{2} + 9 x^{2} y - 2 y + 6\)

Tính \(P + Q\):

Cộng các hạng tử tương ứng (những hạng tử giống biến và bậc):

• \(5 x y^{2} + \left(\right. - x y^{2} \left.\right) = 4 x y^{2}\)
• \(- 3 x^{2} + 9 x^{2} y\) — chú ý: đây không phải hạng tử cùng loại (bậc khác), nên giữ nguyên từng hạng tử
• \(2 y + \left(\right. - 2 y \left.\right) = 0\)
• \(- 1 + 6 = 5\)

Vậy:

\(P + Q = 4 x y^{2} - 3 x^{2} + 9 x^{2} y + 5\)

Tính \(P - Q\):

Trừ từng hạng tử tương ứng:

• \(5 x y^{2} - \left(\right. - x y^{2} \left.\right) = 5 x y^{2} + x y^{2} = 6 x y^{2}\)
• \(- 3 x^{2} - 9 x^{2} y\) — giữ nguyên vì khác loại hạng tử
• \(2 y - \left(\right. - 2 y \left.\right) = 2 y + 2 y = 4 y\)
• \(- 1 - 6 = - 7\)

Vậy:

\(P - Q = 6 x y^{2} - 3 x^{2} - 9 x^{2} y + 4 y - 7\)

a) Viết đa thức biểu thị số mét khối nước cần để bơm đầy cả hai bể.

• Bể thứ nhất:
• • Chiều sâu = 1,2 m
  • Đáy bể: chiều dài = \(x\), chiều rộng = \(y\)
  • Thể tích bể 1:
    \(V_{1} = x \times y \times 1,2 = 1,2 x y\)
• Bể thứ hai:
• • Chiều sâu = 1,5 m
  • Đáy bể có chiều dài và chiều rộng gấp 5 lần bể thứ nhất, tức là:
    \(5 x \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} 5 y\)
  • Thể tích bể 2:
    \(V_{2} = 5 x \times 5 y \times 1,5 = 25 x y \times 1,5 = 37,5 x y\)
• Tổng thể tích hai bể (tổng số mét khối nước cần):
  \(V = V_{1} + V_{2} = 1,2 x y + 37,5 x y = \left(\right. 1,2 + 37,5 \left.\right) x y = 38,7 x y\)

Đa thức cần tìm là:

\(\boxed{38,7 x y}\)

b) Tính lượng nước cần dùng khi \(x = 4\) m, \(y = 3\) m.

Thay giá trị vào đa thức:

\(V = 38,7 \times 4 \times 3 = 38,7 \times 12 = 464,4 \&\text{nbsp};\text{m} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\)

Kết quả:

• Đa thức biểu thị thể tích nước là \(38 , 7 x y\) mét khối
• Lượng nước cần dùng khi \(x = 4\), \(y = 3\) là 464,4 mét khối

a) Tứ giác \(B H C K\) là hình gì? Tại sao?

• \(B E\) là đường cao từ \(B\) nên \(B E \bot A C\).
• \(C F\) là đường cao từ \(C\) nên \(C F \bot A B\).
• Qua \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(A C\).
• Qua \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(A B\).
• Hai đường thẳng vuông góc này cắt nhau tại \(K\).

Xét tứ giác \(B H C K\):

• Góc tại \(B\): Do \(B E \bot A C\) nên \(\angle E B C = 90^{\circ}\), đường cao \(B E\) đi qua \(H\).
• Góc tại \(C\): \(C F \bot A B\), đường cao \(C F\) đi qua \(H\).
• Tại \(H\), giao điểm hai đường cao.
• Các góc tại \(B\) và \(C\) trong tứ giác \(B H C K\) là góc vuông (vì các đường thẳng tại \(B\) và \(C\) vuông góc với \(A B\) và \(A C\)).

=> \(B H C K\) có hai góc đối diện \(B\) và \(C\) là góc vuông.

Suy ra: \(B H C K\) là hình chữ nhật (vì có hai góc vuông kề nhau và \(B H \parallel C K\), \(B K \parallel H C\)).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\). Chứng minh \(H , M , K\) thẳng hàng.

• \(H\) là giao điểm hai đường cao.
• \(M\) là trung điểm của \(B C\).
• \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc từ \(B\) và \(C\) như phần a.

Ta cần chứng minh điểm \(H , M , K\) cùng nằm trên một đường thẳng.

Ý tưởng chứng minh:

• Sử dụng định lý đường trung bình hoặc các tính chất hình học về các đường cao và các đường vuông góc.
• Chứng minh các tam giác tạo bởi các điểm \(H , M , K\) có các góc đồng vị, hoặc chứng minh tỷ số đoạn thẳng phù hợp.

Cụ thể:

• Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\), đường trung tuyến \(A M\) đi qua \(M\).
• Giao điểm \(K\) nằm trên đường thẳng qua \(B\) và vuông góc với \(A B\), cũng như đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(A C\).
• Ta có thể dùng tính chất các phép chiếu vuông góc và định lý Menelaus để chứng minh ba điểm thẳng hàng.

a) Thực hiện phép chia đa thức

\(A = 5 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y + x y\)
chia cho \(x y\).

Bước 1: Chia từng hạng tử của đa thức \(A\) cho \(x y\):

• \(\frac{5 x^{3} y^{2}}{x y} = 5 x^{3 - 1} y^{2 - 1} = 5 x^{2} y\)
• \(\frac{- 3 x^{2} y}{x y} = - 3 x^{2 - 1} y^{1 - 1} = - 3 x\)
• \(\frac{x y}{x y} = 1\)

Kết quả phép chia là:

\(\boxed{5 x^{2} y - 3 x + 1}\)

b) Cho đa thức

\(M = x^{3} - x^{2} y + 2 x y + 3\) \(P = 3 x^{3} - 2 x^{2} y - x y + 3\)

Tìm đa thức \(A\) biết \(A + 2 M = P\).

Bước 1: Viết lại phương trình:

\(A = P - 2 M\)

Bước 2: Tính \(2 M\):

\(2 M = 2 \left(\right. x^{3} - x^{2} y + 2 x y + 3 \left.\right) = 2 x^{3} - 2 x^{2} y + 4 x y + 6\)

Bước 3: Tính \(A = P - 2 M\):

\(A = \left(\right. 3 x^{3} - 2 x^{2} y - x y + 3 \left.\right) - \left(\right. 2 x^{3} - 2 x^{2} y + 4 x y + 6 \left.\right)\)

Tính từng hạng tử:

• \(3 x^{3} - 2 x^{3} = x^{3}\)
• \(- 2 x^{2} y - \left(\right. - 2 x^{2} y \left.\right) = - 2 x^{2} y + 2 x^{2} y = 0\)
• \(- x y - 4 x y = - 5 x y\)
• \(3 - 6 = - 3\)

Vậy:

\(\boxed{A = x^{3} - 5 x y - 3}\)

a) Thực hiện phép chia đa thức

\(A = 5 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y + x y\)
chia cho \(x y\).

Bước 1: Chia từng hạng tử của đa thức \(A\) cho \(x y\):

• \(\frac{5 x^{3} y^{2}}{x y} = 5 x^{3 - 1} y^{2 - 1} = 5 x^{2} y\)
• \(\frac{- 3 x^{2} y}{x y} = - 3 x^{2 - 1} y^{1 - 1} = - 3 x\)
• \(\frac{x y}{x y} = 1\)

Kết quả phép chia là:

\(\boxed{5 x^{2} y - 3 x + 1}\)

b) Cho đa thức

\(M = x^{3} - x^{2} y + 2 x y + 3\) \(P = 3 x^{3} - 2 x^{2} y - x y + 3\)

Tìm đa thức \(A\) biết \(A + 2 M = P\).

Bước 1: Viết lại phương trình:

\(A = P - 2 M\)

Bước 2: Tính \(2 M\):

\(2 M = 2 \left(\right. x^{3} - x^{2} y + 2 x y + 3 \left.\right) = 2 x^{3} - 2 x^{2} y + 4 x y + 6\)

Bước 3: Tính \(A = P - 2 M\):

\(A = \left(\right. 3 x^{3} - 2 x^{2} y - x y + 3 \left.\right) - \left(\right. 2 x^{3} - 2 x^{2} y + 4 x y + 6 \left.\right)\)

Tính từng hạng tử:

• \(3 x^{3} - 2 x^{3} = x^{3}\)
• \(- 2 x^{2} y - \left(\right. - 2 x^{2} y \left.\right) = - 2 x^{2} y + 2 x^{2} y = 0\)
• \(- x y - 4 x y = - 5 x y\)
• \(3 - 6 = - 3\)

Vậy:

\(\boxed{A = x^{3} - 5 x y - 3}\)