PhanTrần Cát Tiên
Giới thiệu về bản thân
Để tìm $x$, ta tiến hành tính giá trị vế trái (VT) và biến đổi vế phải (VP) từng bước như sau:
Bước 1: Tính giá trị vế trái (VT)
$$VT = 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + \dots - 99 + 100$$Nhóm các số hạng từ $2$ đến $99$ thành từng cặp:
$$VT = 1 + (2 - 3) + (4 - 5) + \dots + (98 - 99) + 100$$- Từ $2$ đến $99$ có $99 - 2 + 1 = 98$ số hạng, tương ứng với $98 \div 2 = 49$ cặp.
- Mỗi cặp $(2 - 3), (4 - 5), \dots, (98 - 99)$ đều có giá trị bằng $-1$.
Do đó:
$$VT = 1 + 49 \cdot (-1) + 100 = 1 - 49 + 100 = 52$$Bước 2: Giải phương trình tìm $x$
Thay $VT = 52$ vào phương trình ban đầu:
$$52 = \left\{1 + \left[5 \cdot \frac{1}{2} - \left(x + \frac{1}{3}\right)\right]\right\} \cdot \frac{3}{2}$$Chia cả hai vế cho $\frac{3}{2}$:
$$52 \div \frac{3}{2} = 1 + \left[\frac{5}{2} - \left(x + \frac{1}{3}\right)\right]$$$$52 \cdot \frac{2}{3} = 1 + \frac{5}{2} - x - \frac{1}{3}$$$$\frac{104}{3} = \left(1 + \frac{5}{2} - \frac{1}{3}\right) - x$$Quy đồng và tính tổng các phân số trong ngoặc:
$$1 + \frac{5}{2} - \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{15}{6} - \frac{2}{6} = \frac{19}{6}$$Thay vào phương trình:
$$\frac{104}{3} = \frac{19}{6} - x$$$$x = \frac{19}{6} - \frac{104}{3}$$Quy đồng mẫu số phân số $\frac{104}{3}$:
$$x = \frac{19}{6} - \frac{208}{6}$$$$x = \frac{19 - 208}{6} = \frac{-189}{6} = -\frac{63}{2}$$Kết luận
$$x = -\frac{63}{2} \quad \text{(hoặc } x = -31{,}5\text{)}$$ đúng tick?
bn bấm vô ng bn của bn á bấm phần tin nhắn và nhắn thôi các 2 đó ( mình là người hồi nãy
trả lời câu hỏi của bn đầu tiên)
Đáp án chính xác
Hình thang $ABCD$ (với hai đáy là $AB$ và $CD$) có:
- Cạnh đáy $AB$ và cạnh đáy $CD$.
- Cạnh bên $AD$ và cạnh bên $BC$.
- Hai cạnh đáy là hai cạnh đối diện song song.
Tóm tắt đặc điểm hình thang:
- Cạnh đáy: Là hai cạnh đối diện song song với nhau ($AB \parallel CD$).
- Cạnh bên: Là hai cạnh còn lại không song song ($AD$ và $BC$). đúng thì tick
bấm vô cái gần cái chuông ở gốc trên bên phải nnha đúng thì tick
gặp bácHồ❤
khoảng 20 p
từ từ nó sẽ hiện
Gọi $X$ là giao điểm của $MH$ với tia $CO$. Trong $\triangle XHC$:
- $\widehat{XHC} = \widehat{OHC} - \widehat{OHM} = 90^\circ - \frac{\widehat{C}}{2}$
- $\widehat{XCH} = \widehat{OCH} = \frac{\widehat{C}}{2}$ (do $CO$ là phân giác góc $C$)
Tổng hai góc nhọn trong $\triangle XHC$:
$$\widehat{XHC} + \widehat{XCH} = \left(90^\circ - \frac{\widehat{C}}{2}\right) + \frac{\widehat{C}}{2} = 90^\circ \implies MH \perp CO$$Do đường thẳng qua $M$ vuông góc với $CO$ là duy nhất và cắt $BC$ tại $I$, nên điểm $I$ phải trùng với điểm $H$.
Vì $OH \perp BC$ và $I \equiv H$, suy ra $OI \perp BC$ (điều phải chứng minh).
Để chứng minh $OI \perp BC$, ta sử dụng phương pháp dựng hình phụ kết hợp tính toán góc dựa trên các tính chất của tâm đường tròn nội tiếp.
Bài giải:
Bước 1: Gọi điểm phụ và xác định các tính chất góc
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên cạnh $BC$ ($OH \perp BC$). Ta gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$, khi đó $OH = r$.
Trong $\triangle AOB$, vì $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong nên:
$$\widehat{AOB} = 180^\circ - \left(\frac{\widehat{A}}{2} + \frac{\widehat{B}}{2}\right) = 90^\circ + \frac{\widehat{C}}{2} > 90^\circ$$Do $\widehat{AOB}$ là góc tù, chân đường vuông góc $M$ kẻ từ $A$ đến $BO$ sẽ nằm trên tia đối của tia $OB$.
Xét tam giác vuông $AMO$ (vuông tại $M$):
- $\widehat{AOM} = 180^\circ - \widehat{AOB} = 180^\circ - \left(90^\circ + \frac{\widehat{C}}{2}\right) = 90^\circ - \frac{\widehat{C}}{2}$
- $OM = OA \cdot \cos\widehat{AOM} = OA \cdot \cos\left(90^\circ - \frac{\widehat{C}}{2}\right) = OA \cdot \sin\frac{\widehat{C}}{2}$
Bước 2: Biểu diễn đoạn $OM$ theo bán kính $r$
Kẻ $OE \perp AC$ ($E \in AC$), ta có $OE = r$.
Trong tam giác vuông $AEO$ (vuông tại $E$):
$$OA = \frac{OE}{\sin\widehat{OAE}} = \frac{r}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}}$$Thế $OA$ vào công thức tính $OM$, ta được:
$$OM = \frac{r \cdot \sin\frac{\widehat{C}}{2}}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}}$$Bước 3: Tính góc $\widehat{OHM}$
Xét tam giác vuông $OBH$ (vuông tại $H$), ta có $\widehat{BOH} = 90^\circ - \frac{\widehat{B}}{2}$.
Vì tia $OM$ là tia đối của tia $OB$, góc $\widehat{MOH}$ bù với góc $\widehat{BOH}$:
$$\widehat{MOH} = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\widehat{B}}{2}\right) = 90^\circ + \frac{\widehat{B}}{2}$$Kẻ $MK \perp OH$ tại $K$ ($K$ thuộc đường thẳng $OH$). Xét tam giác vuông $OKM$ (vuông tại $K$):
- $\widehat{MOK} = 180^\circ - \widehat{MOH} = 90^\circ - \frac{\widehat{B}}{2}$
- $MK = OM \cdot \sin\left(90^\circ - \frac{\widehat{B}}{2}\right) = OM \cdot \cos\frac{\widehat{B}}{2}$
- $OK = OM \cdot \cos\left(90^\circ - \frac{\widehat{B}}{2}\right) = OM \cdot \sin\frac{\widehat{B}}{2}$
Vì $\widehat{MOH} > 90^\circ$ nên $O$ nằm giữa $K$ và $H$. Độ dài đoạn $KH$ là:
$$KH = KO + OH = OM \cdot \sin\frac{\widehat{B}}{2} + r = \frac{r}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}} \left( \sin\frac{\widehat{A}}{2} + \sin\frac{\widehat{B}}{2} \sin\frac{\widehat{C}}{2} \right)$$Mặt khác, do $\frac{\widehat{A}}{2} = 90^\circ - \frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2}$, áp dụng công thức cộng lượng giác:
$$\sin\frac{\widehat{A}}{2} = \cos\frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2} = \cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2} - \sin\frac{\widehat{B}}{2}\sin\frac{\widehat{C}}{2}$$$$\Rightarrow \sin\frac{\widehat{A}}{2} + \sin\frac{\widehat{B}}{2} \sin\frac{\widehat{C}}{2} = \cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2}$$Thay vào biểu thức của $KH$ và $MK$, ta có:
$$KH = \frac{r \cdot \cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2}}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}} \quad \text{và} \quad MK = \frac{r \cdot \sin\frac{\widehat{C}}{2}\cos\frac{\widehat{B}}{2}}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}}$$Trong tam giác vuông $MHK$ (vuông tại $K$):
$$\tan\widehat{OHM} = \tan\widehat{KHM} = \frac{MK}{KH} = \frac{\sin\frac{\widehat{C}}{2}}{\cos\frac{\widehat{C}}{2}} = \tan\frac{\widehat{C}}{2}$$$$\Rightarrow \widehat{OHM} = \frac{\widehat{C}}{2}$$Bước 4: Kết luận $I \equiv H$ và $OI \perp BC$
Gọi $X$ là giao điểm của $MH$ với tia $CO$. Trong $\triangle XHC$:
- $\widehat{XHC} = \widehat{OHC} - \widehat{OHM} = 90^\circ - \frac{\widehat{C}}{2}$
- $\widehat{XCH} = \widehat{OCH} = \frac{\widehat{C}}{2}$ (do $CO$ là phân giác góc $C$)
Tổng hai góc nhọn trong $\triangle XHC$:
$$\widehat{XHC} + \widehat{XCH} = \left(90^\circ - \frac{\widehat{C}}{2}\right) + \frac{\widehat{C}}{2} = 90^\circ \implies MH \perp CO$$Do đường thẳng qua $M$ vuông góc với $CO$ là duy nhất và cắt $BC$ tại $I$, nên điểm $I$ phải trùng với điểm $H$.
Vì $OH \perp BC$ và $I \equiv H$, suy ra $OI \perp BC$ (điều phải chứng minh).