Xét tam giác ABCD có: BC vuông góc với AB' và B'C' vuông góc với AB' nên suy ra BC//B'C'
Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{AB}{AB^{\prime}}=\frac{BC}{BC^{\prime}}\)
Suy ra: \(\frac{x}{x+h}=\frac{a}{a^{\prime}}\)
\(a^{\prime}.x=a\left(x+h\right)\)
\(a^{\prime}x-ax=ah\)
\(x\left(a^{\prime}-a\right)=ah\)
\(x=\frac{ah}{a^{\prime}-a}\)

Trong tam giác ADB, ta có MN//AB (gt)
Suy ra: \(\frac{DN}{DB}=\frac{MN}{AB}\) (hệ quả định lí Thalès) (1)
Trong tam giác ABC, ta có: PQ//AB (gt)
Suy ra: \(\frac{CQ}{CB}=\frac{PQ}{AB}\) (hệ quả định lí Thalès) (2)
Lại có: NQ//AB (gt); AB//CD(gt)
Suy ra: NQ//CD
Trong tam giác BDC, ta có NQ//CD (cmt)
Suy ra \(\frac{DN}{DB}=\frac{CQ}{CB}\) (hệ quả định lí Thalès) (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra: MN=PQ

Ta lấy D là trung điểm của cạnh BC
Khi đó AD là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD
\(=>\frac{AG}{AD}=\frac23\) hay \(AG=\frac23AD\)
Vì MG//AB , theo định lí thalès, suy ra \(\frac{AG}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac23\)
Ta có BD=CD (D là trung điểm cạnh BC)
\(\Rightarrow\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2BD}=\frac{2}{2.3}=\frac13\)
Vậy \(BM=\frac13BC\left(dpcm\right)\)

Áp dụng định lí Thalès, ta có:
\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\)
Suy ra: \(OA.OD=OB.OC\)

Ta có DE//AC \(\Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{C D}{B C}\) (thalès)

Ta có DF//AB \(=>\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{BC}\) (thalès)

\(=>\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{BC}+\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)

​