a) Do \(M A\), \(M B\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(M A ⊥ O A ; M B ⊥ O B\)

Suy ra \(\hat{M A O} = \hat{M B O} = 9 0^{\circ}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(O M\) (học sinh tự vẽ thêm trên hình).

Xét tam giác \(M A O\) vuông tại \(A\), \(A I\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:

\(A I = M I = I O = \frac{1}{2} O M\) (1)

Xét tam giác \(M B O\) vuông tại \(B\), \(B I\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có:

\(B I = M I = I O = \frac{1}{2} O M\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A I = M I = I O = B I\)

Vậy tứ giác \(M A O B\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\), đường kính \(O M\).

b) Do \(M A\), \(M B\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên \(M A = M B\);

Mà \(O A = O B = R\) nên \(M O\) là trung trực của đoạn thẳng \(A B\).

Suy ra \(M O ⊥ A B\) tại \(D\).

\(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(d\) nên \(H O ⊥ M H\).

Xét tam giác \(\Delta O D C\) và \(\Delta O H M\) có:

\(\hat{M O H}\) chung;

\(\hat{O D C} = \hat{O H M} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\Delta O D C \sim \Delta O H M\) (g.g) suy ra \(\frac{O D}{O H} = \frac{O C}{O M}\)

Hay \(O C . O H = O D . O M\).

Tương tự, chứng minh \(\Delta O D A \sim \Delta O A M\) suy ra \(O D . O M = O A^{2} = R^{2}\)

Hay \(O C . O H = R^{2}\)

c) Vì điểm \(O\) và đường thẳng \(d\) cố định nên \(H\) cố định do đó \(O H\) cố định và có độ dài không đổi suy ra \(C \in O H\) cố định (3)

 Từ \(O C . O H = R^{2}\) ta có \(O C = \frac{R^{2}}{O H}\) không đổi (4)

Từ (3) và (4) suy ra điểm \(C\) cố định suy ra dây \(A B\) luôn đi qua điểm \(C\) cố định.

Vậy khi điểm \(M\) di chuyển trên đường thẳng \(d\) thì dây \(A B\) luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi vận tốc của bạn Hoa lúc đi là \(x\) (km/h; \(x > 0\)).

Thời gian bạn Hoa đi từ nhà đến địa điểm A là \(\frac{24}{x}\) (giờ).

Thời gian bạn Hoa đi một nửa quãng đường lúc về là \(\frac{12}{x}\) (giờ).

Vận tốc của bạn Hoa đi một nửa quãng đường còn lại lúc về là \(x + 4\) (km/h).

Thời gian bạn Hoa đi nửa quãng đường còn lại lúc về nhà là \(\frac{12}{x + 4}\) (giờ).

Do thời gian về ít hơn thời gian đi là \(15\) phút \(\left(\right.\)đổi bằng \(\frac{1}{4}\) h\(\left.\right)\) nên ta có phương trình:

\(\frac{24}{x} - \frac{12}{x} - \frac{12}{x + 4} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 4} = \frac{1}{4}\)

\(x^{2} + 4 x - 192 = 0\)

\(x = 12\) hoặc \(x = - 16\)

Ta thấy \(x = - 16\) không thỏa mãn.

Vậy vận tốc của bạn Hoa lúc đi là \(12\) km/h.

a) Với \(m = - 2\), phương trình (1) trở thành \(x^{2} + 2 x - 3 = 0.\)

Giải ra được \(x = 1 , x = - 3.\)

Vậy với \(m = - 2\) phương trình (1) có tập nghiệm là \(S = \left{\right. 1 ; - 3 \left.\right}\).

b) Ta có: \(\Delta = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m\)

Do đó phương trình \(\left(\right. 1 \left.\right)\) luôn có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\) với mọi \(m\).

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = m \\ & x_{1} x_{2} = m - 1\)

Biến đổi \(A = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} + 2}\)

\(= \frac{2 \left(\right. m - 1 \left.\right) + 3}{m^{2} + 2}\)

\(= \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2}\)

\(A = \frac{m^{2} + 2 - \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2}}{m^{2} + 2} = 1 - \frac{\left(\right. m - 1 \left.\right)^{2}}{m^{2} + 2}\)

Lập luận chỉ ra \(A \leq 1\), dấu "=" xảy ra khi \(m = 1\).

Với \(x > 0 ; x \neq 4 ; x \neq 9\) ta có:

\(P = \left(\right. \frac{4 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{8 x}{4 - x} \left.\right) : \left(\right. \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \left.\right)\)

\(= \frac{4 \sqrt{x} . \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) - 8 x}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)} : \frac{\sqrt{x} - 1 - 2 \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{\sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}\)

\(= \frac{- 4 x - 8 \sqrt{x}}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)} : \frac{- \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}\)

\(= \frac{- 4 \sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)} . \frac{\sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{- \sqrt{x} + 3}\)

\(= \frac{- 4 x}{- \sqrt{x} + 3} = \frac{4 x}{\sqrt{x} - 3}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là:

\(x^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m - 3 = 0\) (*)

Vì \(x_{1} ; x_{2}\) là hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) nên \(x_{1} ; x_{2}\) là nghiệm của phương trình (*).

Do đó \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m - 3 \left.\right) \geq 0\)

\(\left(\right. m - \frac{3}{2} \left.\right)^{2} + \frac{7}{4} \geq 0\) (luôn đúng)

Theo hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m - 3\).

Khi đó: \(M = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} - 2. \left(\right. m - 3 \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\left(\right. 4 m - 5 \left.\right)\right)^{2} + \frac{15}{4} \geq \frac{15}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m = \frac{5}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là \(\frac{15}{4}\) khi \(m = \frac{5}{4}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là:

\(x^{2} = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) x - 2 m\)

\(x^{2} - \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) x + 2 m = 0\)

Ta có: \(\Delta = \left[\right. - \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)^{2} - 4.2 m \left]\right. \&\text{nbsp}; = 4 m^{2} - 4 m + 1 = \left(\right. 2 m - 1 \left.\right)^{2}\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\)

\(2 m - 1 \neq 0\)

\(m \neq \frac{1}{2}\)

Theo hệ thức Viète ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 \\ & x_{1} . x_{2} = 2 m\)

Khi đó: \(y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 1\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 1\)

\(\left(\left(\right. 2 m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 3.2 m - 1 = 0\)

\(4 m^{2} + 4 m + 1 - 6 m - 1 = 0\)

\(4 m^{2} - 2 m = 0\)

\(2 m \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) = 0\)

\(2 m = 0\) hoặc \(2 m - 1 = 0\)

\(m = 0\) (thỏa điều kiện) hoặc \(m = \frac{1}{2}\) (không thỏa điều kiện).

Vậy với \(m = 0\) thì \(\left(\right. P \left.\right)\) cắt \(\left(\right. d \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt thỏa điều kiện đã cho.

a)

Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = 3 m x + 1 - m^{2}\) đi qua điểm \(A \left(\right. 1 ; - 9 \left.\right)\) thì

\(- 9 = 3 m . 1 + 1 - m^{2}\)

\(m^{2} - 3 m - 9 - 1 = 0\)

\(m^{2} - 3 m - 10 = 0\)

Phương trình có \(\Delta = \left(\right. - 3 \left.\right)^{2} + 4.10 = 49 > 0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(m_{1} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = 5\); \(m_{2} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = - 2\).

Vậy \(m = - 2\); \(m = 5\) là các giá trị thỏa mãn bài toán

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

\(x^{2} = 3 m x + 1 - m^{2}\)

\(x^{2} - 3 m x + m^{2} - 1 = 0\) (*)

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt của hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\) thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\)

\(\Delta > 0\)

\(\left(\right. 3 m \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} - 1 \left.\right) > 0\)

\(9 m^{2} - 4 m^{2} + 4 > 0\)

\(5 m^{2} + 4 > 0\) với mọi \(m\)

Với mọi giá trị của \(m\) thì \(\left(\right. d \left.\right)\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt của hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\)

Áp dụng hệ thức Viète với phương trình (*) ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 3 m \\ & x_{1} x_{2} = m^{2} - 1\)

Theo đề bài ra ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 x_{1} x_{2}\)

\(3 m = 2 \left(\right. m^{2} - 1 \left.\right)\)

\(2 m^{2} - 2 - 3 m = 0\)

\(2 m^{2} - 3 m - 2 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(m_{1} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2.2} = 2 ; m_{2} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2.2} = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(m = - \frac{1}{2}\); \(m = 2\) để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Thay \(x = 2 , y = 1\) vào phương trình đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) ta có:

\(1 = 2 m . 2 + 3 - 2 m\)

\(2 m = - 2\)

\(m = - 1\)

Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn yêu cầu.

b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\): \(x^{2} = 2 m x + 3 - 2 m\)

\(x^{2} - 2 m x + 2 m - 3 = 0\) (*)

Ta có: \(\Delta^{'} = m^{2} - 2 m + 3 = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 2 > 0\) (với mọi \(m\))

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(\right. d \left.\right)\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt \(A , B\).

Gọi \(x_{1} ; x_{2}\) là hoành độ các điểm \(A , B\)

Suy ra \(x_{1} ; x_{2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*)

Mà \(x_{1} ; \&\text{nbsp}; x_{2}\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên (*) có hai nghiệm phân biệt dương khi

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} > 0 \\ & x_{1} x_{2} > 0\)

\(\left{\right. & 2 m > 0 \\ & 2 m - 3 > 0\)

\(m > \frac{3}{2}\)

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} x_{2} = 2 m - 3\).

Vì \(x_{1} ; \&\text{nbsp}; x_{2}\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có đường chéo bằng \(\sqrt{14}\) nên áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có :

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 14\)

\(4 m^{2} - 2 \left(\right. 2 m - 3 \left.\right) = 14\)

\(2 m^{2} + 2 m - 4 = 0\)

\(m = - 1\) (ktm); \(m = 2\) (tm)

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.

a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) là đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\)

- Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là:

\(x^{2} = 2 x + 5 m\)

\(x^{2} - 2 x - 5 m = 0\).

Do \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\) nên

\(\Delta^{'} > 0\)

\(1^{2} + 5 m > 0\)

\(m > - \frac{1}{5}\).

Khi đó, theo định lí Viète ta có: 

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - \frac{- 2}{1} = 2 \left(\right. 1 \left.\right) \\ & x_{1} x_{2} = \frac{- 5 m}{1} = - 5 m \left(\right. 2 \left.\right)\).

Theo đề bài ta có: \(x_{1} . x_{2}^{2} - x_{1} \left(\right. 5 m + 3 x_{2} \left.\right) = 10 115\) (3).

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\) suy ra \(x_{1} = 2 - x_{2}\).

Thay vào \(\left(\right. 2 \left.\right)\) và (3), ta có: \(\left{\right. & \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) x_{2} = - 5 m \\ & \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) . x_{2}^{2} - \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) \left(\right. 5 m + 3 x_{2} \left.\right) = 10 115\)

\(\left{\right. & 5 m = x_{2}^{2} - 2 x_{2} \\ & \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) . x_{2}^{2} - \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{2}^{2} - 2 x_{2} + 3 x_{2} \left.\right) = 10 115\)

\(\left{\right. & 5 m = x_{2}^{2} - 2 x_{2} \\ & \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) . x_{2}^{2} - \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{2}^{2} + x_{2} \left.\right) = 10 115\)

\(\left{\right. & 5 m = x_{2}^{2} - 2 x_{2} \\ & 2 x_{2}^{2} - x_{2}^{3} - 2 x_{2}^{2} - 2 x_{2} + x_{2}^{3} + x_{2}^{2} = 10 115\)

\(\left{\right. & 5 m = x_{2}^{2} - 2 x_{2} \\ & x_{2}^{2} - 2 x_{2} = 10 115\).

\(5 m = 10 115\)

\(m = 2 023\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 2 023\) là giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là:

\(x^{2} = - 2 x + m - 1\)

\(x^{2} + 2 x - m + 1 = 0\) (1) 

Để đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Hay \(\Delta^{'} > 0\)

\(1^{2} - 1. \left(\right. - m + 1 \left.\right) > 0\)

\(m > 0\)

Vậy \(m > 0\) thì đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt \(A \left(\right. x_{1} ; y_{1} \left.\right) , B \left(\right. x_{2} ; y_{2} \left.\right)\).

Khi đó ta có \(y_{1} = x_{1}^{2} ; y_{2} = x_{2}^{2}\)

Theo định lí Viète ta có \(x_{1} + x_{2} - 2 ; x_{1} x_{2} = - m + 1\).

Ta có \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x - 1 + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. - m + 1 \left.\right) = 2 m + 2\)

Theo bài ra ta có \(\left(\right. y_{1} + y_{2} \left.\right)^{2} = 110 - x_{1}^{2} - x_{2}^{2}\)

\(\left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)^{2} = 110 - \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)\)

\(\left(\right. 2 m + 2 \left.\right)^{2} = 110 - \left(\right. 2 m + 2 \left.\right)\)

\(2 m^{2} + 5 m - 52 = 0\)

Ta có \(\Delta = 5^{2} - 4.1. \left(\right. - 52 \left.\right) = 441\)

Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(m_{1} = \frac{- 5 + 21}{4} = 4\) (thoả mãn điều kiện \(m > 0\))

\(m_{2} = \frac{- 5 - 21}{4} = \frac{- 13}{2}\) (không thoả mãn điều kiện \(m > 0\))

Vậy \(m = 4\) thì đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt \(A \left(\right. x_{1} ; y_{1} \left.\right)\) và \(B \left(\right. x_{2} ; y_{2} \left.\right)\) thỏa mãn yêu cầu.