a) Có 6 giá trị khác nhau.

b) Trong số 40 số liệu thống kê, có: 5 lần quay vào số 1, 6 lần quay vào số 6, 8 lần quay vào số 3, 7 lần quay vào số 4, 7 lần quay vào số 5 và 7 lần quay vào số 6.

Bảng tần số của mẫu số liệu thống kê:

Biểu đồ dạng cột của tần số mẫu số liệu có dạng:

c) Các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 có tần số tương đối lần lượt là:

Bảng tần số tương đối:

Biểu đồ dạng cột của tần số tương đối mẫu số liệu có dạng:

Biểu đồ dạng quạt tròn của tần số tương đối mẫu số liệu có dạng:

Số liệu không chính xác ở đây là \(15 \%\). Sửa lại thành \(12 \%\) vì \(\frac{6}{24 + 16 + 6 + 4} . 100\)

Bảng số liệu đúng sau khi sửa lại:

a) Bảng tần số và tần số tương đối: 

 b)

 Tần số tương đối phân theo số bàn thắng

a) Cỡ mẫu là 40.

Bảng tần số và tần số tương đối:

b)

Tần số tương đối phân theo cỡ giày

c) Cửa hàng trên nhập về để bán cỡ giày 40; 41 nhiều nhất, cỡ giày 44 ít nhất vì cỡ giày 40; 41 có nhiều người mua nhất, cỡ giày 44 có ít người mua nhất.

Đặt \(t = \sqrt[3]{x^{3} - 2}\) suy ra \(x^{3} - 2 = t^{3}\) (2)

Từ (1) trở thành: \(5 x^{2} - 12 x + 6 - 2 t^{2} + 5 t = 0\)

\(5 x^{2} - 12 x + 6 = 2 t^{2} - 5 t\) (3)

Lấy (2) trừ (3) ta có: \(x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8 = t^{3} - 2 t^{2} + 5 t\)

\(\left(\right. x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 \left.\right) - \left(\right. t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 \left.\right) + t^{2} - 2 t + 1 = 0\)

\(\left(\right. x - 2 \left.\right)^{3} - \left(\right. t - 1 \left.\right)^{3} + \left(\right. t + 1 \left.\right)^{2} = 0\) (4) 

Đặt \(a = x - 2 , b = t - 1\) suy ra \(x = a + 2 , t = b + 1\)

Suy ra (4) trở thành: \(a^{3} + \left(\right. a + 2 \left.\right)^{2} = b^{3} + \left(\right. b + 2 \left.\right)^{2}\)

\(a^{3} - b^{3} + \left(\right. a + 2 \left.\right)^{2} - \left(\right. b + 2 \left.\right)^{2} = 0\)

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right) + \left(\right. a + 2 - b - 2 \left.\right) \left(\right. a + 2 + b + 2 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right) + \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a + b + 4 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} + a + b + 4 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left[\right. \&\text{nbsp}; \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + 6 \left]\right. \&\text{nbsp}; = 0\)

\(a = b\)

⚡ Với \(a = b\) ta có: \(x - 2 = t - 1\) hay \(t = x - 1\)

⚡ Với \(t = x - 1\) ta có: \(\sqrt[3]{x^{3} - 2} = x - 1\)

\(x^{3} - 2 = \left(\right. x - 1 \left.\right)^{3}\)

\(3 x^{2} - 3 x - 1 = 0\)

\(x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là \(S = \left{\right. \&\text{nbsp}; \frac{3 - \sqrt{21}}{6} ; \&\text{nbsp}; \frac{3 + \sqrt{21}}{6} \left.\right}\).

1) Gọi \(N\) là trung điểm của \(A I\).

Ta có \(I H \bot A B\) suy ra \(\hat{I H A} = 9 0^{\circ}\)

Tam giác \(A H I\) vuông tại \(H\) có trung tuyến \(H N\) ứng với cạnh huyền nên \(A N = N I = N H = \frac{1}{2} A I\) (1)

Ta có \(I K \bot \&\text{nbsp}; A C\) suy ra \(\hat{A K I} = 9 0^{\circ}\)

Tam giác \(A K I\) vuông tại \(K\) có trung tuyến \(K N\) ứng với cạnh huyền nên \(A N = N I = N K = \frac{1}{2} A I\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  \(A N = N I = N K = N H\) hay bốn điểm \(A , H , I , K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(A I\).

2) Ta có \(I\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(B C\) suy ra \(I B \&\text{nbsp}; = I C\) hay \(\hat{I A B} = \hat{I A C}\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta I A H\) và \(\Delta I A K\) có:

\(I A\) chung;

\(\hat{I A B} = \hat{I A C}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta I A H = \Delta I A K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra \(I H = I K\) nên \(\Delta I H K\) cân tại \(I\).

Ta có \(A H I K\) là tứ giác nội tiếp nên \(\hat{H A K} + \hat{H I K} = 18 0^{\circ}\).

\(A B I C\) là tứ giác nội tiếp nên \(\hat{B A C} + \hat{B I C} = 18 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{H I K} = \hat{B I C}\).

Gọi số ha rừng lâm trường dự định trồng trong mỗi tuần là \(x\) (ha; \(x > 0\)).

Thời gian trồng rừng theo kế hoạch là: \(\frac{75}{x}\) (tuần)

Thời gian trồng rừng thực tế là: \(\frac{80}{x + 5}\) (tuần)

Vì thực tế hoàn thành sớm hơn dự định \(7\) ngày \(= 1\) tuần nên ta có phương trình:

\(\frac{75}{x} - \frac{80}{x + 5} = 1\)

\(x^{2} + 10 x - 375 = 0\)

\(\left(\right. x - 15 \left.\right) \left(\right. x + 25 \left.\right) = 0\)

\(x = 15\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 25\) (loại)

Vậy số ha rừng lâm trường dự định trồng trong một tuần là \(15\) ha.

1) Giải phương trình \(x^{4} - 7 x^{2} + 12 = 0\).

Đặt \(t = x^{2}\) với \(t \geq 0\).

Khi đó phương trình trở thành: \(t^{2} - 7 t + 12 = 0\) (1)

\(\Delta_{t} = \left(\right. - 7 \left.\right)^{2} - 4.1.12 = 1 > 0\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

\(t_{1} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2.1} = 4\) (thỏa mãn);

\(t_{2} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2.1} = 3\) (thỏa mãn).

⚡ Với \(t = 4\) thì \(x^{2} = 4\) suy ra  \(x = \pm 2\)

⚡ Với \(t = 3\) thì \(x^{2} = 3\) suy ra \(x = \pm \sqrt{3}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left{\right. - \sqrt{3} ; \sqrt{3} ; - 2 ; 2 \left.\right}\).

2) a) \(\Delta = \left[\right. - \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 4 m^{2} - 4 m + 1 - 4 m + 4\)

\(= 4 m^{2} - 8 m + 5 = 4 \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 1 > 0\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) nên theo hệ thức Viète, ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 m - 1\) và \(x_{1} x_{2} = m - 1\)

Theo đề bài, ta có: \(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) . \left(\right. x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \left.\right) = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) . \left[\right. \&\text{nbsp}; \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} \left]\right. \&\text{nbsp}; = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) . \left[\right. \&\text{nbsp}; \left(\right. 2 m - 1 \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) \left]\right. \&\text{nbsp}; = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) . \left(\right. 4 m^{2} - 4 m + 1 - 3 m + 3 \left.\right) = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) . \left(\right. 4 m^{2} - 7 m + 4 \left.\right) = 2 m^{2} - m\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. 4 m^{2} - 7 m + 4 \left.\right) - \left(\right. 2 m^{2} - m \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. 4 m^{2} - 7 m + 4 \left.\right) - m \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \&\text{nbsp}; = 0\)

\(\left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. 4 m^{2} - 8 m + 4 \left.\right) = 0\)

\(4 \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} = 0\)

\(m = 1\) hoặc \(m = \frac{1}{2}\).

Vậy \(m \in \left{\right. 1 , \frac{1}{2} \left.\right}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

1) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(Q\) ta có:

\(Q = \frac{\sqrt{9} + 3}{\sqrt{9} + 1} = \frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

Vậy với \(x = 9\) thì \(Q = \frac{3}{2}\).

2) Với \(x \geq 0 ; x \neq 1\) ta có:

\(P = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\)

\(= \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) - 3 \sqrt{x}}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}\)

\(= \frac{\sqrt{x} - 1 + x + 2 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x}}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}\)

\(= \frac{x - 1}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}\) \(= \frac{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}\) \(= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}\).

3) \(M = P . Q = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} . \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1}\)

\(= \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 3 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}\)

Ta có \(\sqrt{x} \geq 0\) với \(x \geq 0\); suy ra \(\sqrt{x} + 2 \geq 2\).

Suy ra \(\frac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{1}{2}\)

Do đó, \(M \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x} = 0\) tức là \(x = 0\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(\frac{3}{2}\) khi \(x = 0\).

Ta có: \(\left(\right. x^{2} - 1 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x + 5 \left.\right) = m\) (1)

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 5 \left.\right) = m\)

\(\left(\right. x^{2} + 4 x + 3 \left.\right) \left(\right. x^{2} + 4 x - 5 \left.\right) = m\) (2)

Đặt \(y = x^{4} + 4 x + 4 = \left(\right. x + 2 \left.\right)^{2} \geq 0\) với mọi \(x\). 

Khi đó (2) có dạng: \(\left(\right. y - 1 \left.\right) \left(\right. y - 9 \left.\right) = m\) hay \(y^{2} - 10 y + 9 - m = 0\) (3)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (3) có hai nghiệm dương phân biệt \(y_{1} > y_{2} > 0\) khi và chỉ khi

\(\left{\right. \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; & \Delta^{'} = 16 + m > 0 \\ \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; & y_{1} + y_{2} = 10 > 0 \\ \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; & y_{1} y_{2} = 9 - m > 0\) hay \(- 16 < m < 9\) (4)

Khi \(y_{1} ; y_{2}\) là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (3) thì phương trình (2) tương đương với:

\(x^{2} + 4 x + 4 - y_{1} = 0\) hoặc \(x^{2} + 4 x + 4 - y_{2} = 0\)

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình: \(x^{2} + 4 x + 4 - y_{1} = 0\) (5)

Gọi \(x_{3} , x_{4}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình: \(x^{2} + 4 x + 4 - y_{2} = 0\) (6)

Áp dụng định lí Viète cho các phương trình (3), (5), (6) ta có:

\(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}}\)

\(= \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} + \frac{x_{3} + x_{4}}{x_{3} x_{4}}\)

\(= \frac{- 4}{4 - y_{1}} + \frac{- 4}{4 - y_{2}}\)

\(\frac{4 \left(\right. y_{1} + y_{2} \left.\right) - 32}{16 - 4 \left(\right. y_{1} + y_{2} \left.\right) + y_{1} y_{2}}\)

\(= \frac{40 - 32}{16 - 40 + 9 - m}\)

\(= \frac{8}{- 15 - m} = - 1\)

Suy ra \(m = - 7\) (thỏa mãn).