a) Gọi \(E , F\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) với các cạnh \(A B , A C\)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(A E = A F ; B E = B D ; C D = C F\)

Do đó: \(2 B D = B D + B E = B C - C D + A B - A E\)

\(= B C + A B - \left(\right. C D + A E \left.\right) = B C + A B - \left(\right. C F + A F \left.\right)\)

\(= B C + A B - A C\) suy ra \(B D = \frac{B C + A B - A C}{2}\)

b) Tương tự câu a) ta có: \(D C = \frac{B C + A C - A B}{2}\) mà \(A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}\) (\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\)), do đó:

\(B D . D C = \frac{\left(\right. B C + A B - A C \left.\right) \left(\right. B C + A C - A B \left.\right)}{4}\)

\(\frac{B C^{2} - \left(\right. A B - A C \left.\right)^{2}}{4} = \frac{B C^{2} - A B^{2} - A C^{2} + 2 A B . A C}{4}\)

\(= \frac{A B . A C}{2} = S_{A B C}\).

Gọi \(D , E , F\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) với \(A B\)

\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore ta có: \(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{9^{2} + 1 2^{2}} = 15\) cm

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(A D = A F ; B D = B E ; C E = C F\).

Do đó \(2 A D + 2 B E + 2 C E = A B + B C + C A = 9 + 12 + 15 = 36\)

\(2 A D + 2 B C = 36\)

\(A D = 3\) (cm) suy ra \(B D = 6\) (cm); \(D I = 3\) cm.

Gọi \(N = B I \cap A C\), ta có: \(\frac{B I}{B N} = \frac{B D}{B A} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{B G}{B M}\)

Suy ra \(I G\) // \(N M\) và \(I G = \frac{2}{3} N M\).

Ta có \(\diamond I D A F\) là hình vuông, có: \(\frac{B D}{B A} = \frac{D I}{A N} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(A N = 4 , 5\) cm.

Mà \(M\) là trung điểm của \(A C\) nên: \(N M = A M - A N = 6 - 4 , 5 = 1 , 5\) (cm) suy ra \(I G = 1\) cm.

Đường tròn \(\left(\right. I ; r \left.\right)\) tiếp xúc với các cạnh \(A B , A C , B C\) theo thứ tự \(M , N , P\).

Ta có: \(S_{A I B} = \frac{1}{2} I M . A B = \frac{1}{2} r . A B\) (1);

\(S_{A I C} = \frac{1}{2} I N . A C = \frac{1}{2} r . A C\) (2);

\(S_{B I C} = \frac{1}{2} r . B C\) (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3), ta được: \(\frac{S_{A I B} + S_{A I C} + S_{B I C}}{S_{A B C}} = \frac{1}{2} r . \left(\right. A B + A C + B C \left.\right)\)

Mà \(S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{6.8}{2} = 24\) cm², \(B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\) cm

Nên ta có: \(24 = \frac{1}{2} r \left(\right. 6 + 8 + 10 \left.\right)\) suy ra \(r = 2\) (cm).

Ta có \(B H \bot \&\text{nbsp}; A C\) nên \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\).

Mà \(\hat{B A H} = 4 5^{\circ}\) nên \(\hat{A B H^{'}} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\).

Mặt khác \(\hat{A B D} \&\text{nbsp}; = \hat{A C D}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(A D\)) nên \(\hat{A C D} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\). (1)

\(C K \&\text{nbsp}; \bot \&\text{nbsp}; A B\) nên \(\Delta A C K\) vuông tại \(K\).

Mà \(\hat{C A K} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\) nên \(\hat{A C K} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\). (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\hat{D C E} \&\text{nbsp}; = 9 0^{\circ}\) nên \(D E\) là đường kính.

Vậy \(D\), \(O\), \(E\) thẳng hàng.

Vẽ đường kính \(A D\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), suy ra \(\hat{A C D} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta H B A\) và \(\Delta C D A\) có:

\(\hat{A H B} = \hat{A C D} = 9 0^{\circ}\);

\(\hat{H B A} = \hat{C D A}\) (góc nội tiếp cùng chắn AC⌢AC⌢);

Do đó \(\Delta H B A \sim \Delta C D A\)

Suy ra \(\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{A D}\) nên \(A B . A C = A D . A H\).

Mà \(A D = 2 R\).

Do đó \(A B . A C = 2 R . A H\).

Kẻ đường kính \(A E\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

Ta thấy \(\hat{A C E} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó \(\hat{O A C} + \hat{A E C} = 9 0^{\circ}\) (1).

Theo giả thiết, ta có:

\(\hat{B A H} + \hat{A B C} = 9 0^{\circ}\) (2).

Mà \(\hat{A E C} = \hat{A B C}\) (cùng chắn AC⌢AC⌢) (3).

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\hat{B A H} = \hat{O A C}\) (đpcm).

Tổng số củ cà rốt là: \(n = 8 + 17 + 30 + 28 + 12 + 5 = 100\).

Tỉ lệ số củ cà rốt có chiều dài từ \(15\) cm đến dưới \(16\) cm là:

\(\frac{8}{100} \cdot 100 \% = 8 \%\);

Tỉ lệ số củ cà rốt có chiều dài từ \(16\) cm đến dưới \(17\) cm là:

\(\frac{17}{100} \cdot 100 \% = 17 \%\);

Tỉ lệ số củ cà rốt có chiều dài từ \(17\) cm đến dưới \(18\) cm là:

\(\frac{30}{100} \cdot 100 \% = 30 \%\)

Tỉ lệ số củ cà rốt có chiều dài từ \(18\) cm đến dưới \(19\) cm là:

\(\frac{28}{100} \cdot 100 \% = 28 \%\);

Tỉ lệ số củ cà rốt có chiều dài từ \(19\) cm đến dưới \(20\) cm là:

\(\frac{12}{100} \cdot 100 \% = 12 \%\)

Tỉ lệ số củ cà rốt có chiều dài từ \(20\) cm đến dưới \(21\) cm là:

\(\frac{5}{100} \cdot 100 \% = 5 \%\)

Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm sau:

b) Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột về số lượng cà rốt theo chiều dài:

Tổng số cổ động viên là: \(n = 15 + 38 + 50 + 27 + 20 + 10 = 160\).

a) 

Tỉ lệ số cổ động viên có thời gian chờ từ \(0\) phút đến dưới \(5\) phút là:

\(\frac{15}{160} \cdot 100 \% = 9 , 375 \%\);

Tỉ lệ số cổ động viên có thời gian chờ từ \(5\) phút đến dưới \(10\) phút là:

\(\frac{38}{160} \cdot 100 \% = 23 , 75 \%\);

Tỉ lệ số cổ động viên có thời gian chờ từ \(10\) phút đến dưới \(15\) phút là:

\(\frac{50}{160} \cdot 100 \% = 31 , 25 \%\);

Tỉ lệ số cổ động viên có thời gian chờ từ \(15\) phút đến dưới \(20\) phút là:

\(\frac{27}{160} \cdot 100 \% = 16 , 875 \%\);

Tỉ lệ số cổ động viên có thời gian chờ từ \(20\) phút đến dưới \(25\) phút là:

\(\frac{20}{160} \cdot 100 \% = 12 , 5 \%\);

Tỉ lệ số cổ động viên có thời gian chờ từ \(25\) phút đến dưới \(30\) phút là:

\(\frac{10}{160} \cdot 100 \% = 6 , 25 \%\).

Ta có bảng tần số tương đối sau:

b) Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

Ta có biểu đồ tần số tương đối dạng đoạn thẳng như sau:

a) Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là:

\(f_{1} = \frac{3}{60} \cdot 100 \% = 5 \%\); 

\(f_{2} = \frac{6}{60} \cdot 100 \% = 10 \%\);

\(f_{3} = \frac{19}{60} \cdot 100 \% \approx 31 , 67 \%\);

\(f_{4} = \frac{23}{60} \cdot 100 \% \approx 38 , 33 \%\); 

\(f_{5} = \frac{9}{60} \cdot 100 \% = 15 \%\).

Ta có bảng tần số tương đối sau:

b) Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột:

 Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ đoạn thẳng:

a) Tần số của nhóm \(\left[\right. 70 ; 80 \left.\right)\), \(\left[\right. 80 ; 90 \left.\right)\), \(\left[\right. 90 ; 100 \left.\right)\), \(\left[\right. 100 ; 110 \left.\right)\), \(\left[\right. 110 ; 120 \left.\right)\) lần lượt là:

\(n_{1} \&\text{nbsp}; = 3 ; n_{2} \&\text{nbsp}; = 6 ; n_{3} \&\text{nbsp}; = 12 ; n_{4} \&\text{nbsp}; = 5 ; n_{5} \&\text{nbsp}; = 4\).

b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó như sau: