Vẽ \(A K ⊥ B C\) tại K, \(A H ⊥ \&\text{nbsp}; D C\) tại \(H\).

Khi đó tứ giác \(A K C H\) là hình chữ nhật nên \(A K = C H\); \(A H = C K\)

Trong tam giác vuông \(A K B\) vuông tại \(K\) có \(A B = 10\) cm, \(\hat{A B K} = 7 0^{\circ}\) 

\(A K = A B . \&\text{nbsp}; sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ} = 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\) suy ra \(A K = C H = 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

hay \(D H = C D - H C = 15 - 10. sin ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

\(B K = A B . cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ} = 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

Suy ra \(C K = C B - B K = 13 - 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

hay \(A H = C K = 13 - 10. cos ⁡ \&\text{nbsp}; 7 0^{\circ}\)

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông \(A D H\):

\(A D = \sqrt{A H^{2} + D H^{2}} = \sqrt{\left(\right. 13 - 10. cos ⁡ 7 0^{\circ} \left.\right)^{2} + \left(\right. 15 - 10. sin ⁡ 7 0^{\circ} \&\text{nbsp}; \left.\right)^{2}} \approx 11 , 1\) m.

a) \(\Delta C E F \sim \Delta C B A\) (g-g) suy ra  \(\frac{C F}{C E} = \frac{A C}{B C}\) nên

\(\Delta C F A \sim \Delta C E B\) (c-g-c) suy ra \(\frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C}\) hay \(\frac{A F}{B E} = cos ⁡ C\).

Vậy \(A F = B E . cos ⁡ C\).

b) Vì \(\Delta A B C\) có \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) nên  \(A B = sin ⁡ C . B C = 0 , 6.10 = 6\) cm.

Suy ra \(A C = 8\) cm nên \(A E = E C = 4\) cm.

Mà \(E F = sin ⁡ C . E C = 0 , 6.4 = 2 , 4\) cm.

Suy ra \(F C = 3 , 2\) cm (Định lí Pythagore)

\(S_{A B F E} \&\text{nbsp}; = S_{A B C} \&\text{nbsp}; - S_{C F E} \&\text{nbsp}; = \frac{1}{2} . \left(\right. A B . A C - E F . F C \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 6 \cdot 8 - 2 , 4 \cdot 3 , 2 \left.\right) = 20 , 16\) (cm\(^{2}\)).

Gọi \(x\), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền hai khoản đầu tư của bác Phương (\(x , y > 0\))

Tổng số tiền bác Phương đầu tư là \(800\) triệu đồng nên ta có phương trình \(x + y = 800\) (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6 \%\)/năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8 \%\)/năm, nên ta có phương trình

\(0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left{\right. & x + y = 800 \\ & 0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\)

Giải hệ phương trình ta được \(\left{\right. & x = 500 \\ & y = 300\) (thỏa mãn)

Vậy bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là \(500\) triệu đồng và \(300\) triệu đồng.

a) Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau:

(1) \(3 x - 2 = 0\)

\(3 x = 2\)

\(x = \frac{2}{3}\)

(2) \(2 x + 1 = 0\)

\(2 x = - 1\)

\(x = \frac{- 1}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{2}{3}\) và \(x = \frac{- 1}{2}\).

b) \(\left{\right. & 2 x - y = 4 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & 4 x - 2 y = 8 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & 5 x = 5 \\ & x + 2 y = - 3\)

\(\left{\right. & x = 1 \\ & 1 + 2 y = - 3\) 

\(\left{\right. \&\text{nbsp}; & x = 1 \\ & 2 y = - 4\)

\(\left{\right. & x = 1 \\ & y = - 2\).

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \left(\right. 1 ; - 2 \left.\right)\)

a) Gọi số tuổi của bạn An là \(x\) (tuổi), \(x \in \mathbb{N}^{*}\).

Bất đẳng thức để mô tả bạn An ít nhất \(18\) tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội là: \(x \geq 18\).

b) Gọi khối lượng thang máy chở được là \(a\) kg, \(a > 0\).

Bất đẳng thức để mô tả một thang máy chở được tối đa \(700\) kg là: \(0 < a \leq 700\).

c) Gọi số tiền mua hàng là \(x\) (triệu đồng), \(x > 0\).

Bất đẳng thức để mô tả bạn phải mua hàng có tổng trị giá ít nhất \(1\) triệu đồng mới được giảm giá là \(x \geq 1\).

d) \(2 x - 3 > - 7 x + 2\).

Nối \(B\) và \(C\). Kẻ \(C H \bot A B\) (\(H \in A B\)).

Sau \(1 , 5\) giờ tàu \(B\) chạy được quãng đường là: \(A B = 20.1 , 5 = 30\) (hải lí).

Sau \(1 , 5\) giờ tàu \(C\) chạy được quãng đường là: \(A C = 15.1 , 5 = 22 , 5\) (hải lí).

Xét tam giác \(A H C\) vuông tại \(H\), ta có:

\(C H = A C . sin ⁡ A = 22 , 5. sin ⁡ 6 0^{\circ} \&\text{nbsp}; = \frac{45 \sqrt{3}}{4}\) (hải lí).

\(A H = A C . cos ⁡ A = 22 , 5. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 11 , 25\) (hải lí).

Do đó \(B H = A B - A H = 30 - 11 , 25 = 18 , 75\) (hải lí).

Mặt khác, tam giác \(C H B\) vuông tại \(H\), áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(B C = \sqrt{B H^{2} + C H^{2}} = \sqrt{\left(\right. 18 , 75 \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{45 \sqrt{3}}{4} \left.\right)^{2}} \approx 27 , 04\) (hải lí).

Vậy sau \(1 , 5\) giờ tàu \(B\) cách tàu \(C\) là \(27 , 04\) hải lí.

Hướng dẫn giải:

a) \(\Delta B K C \sim \Delta D H C\) (g. g)

Vì \(\hat{K} = \hat{H} = 9 0^{\circ}\) 

\(\hat{D} = \hat{B}\) (cùng bằng \(\hat{A}\))

\(\frac{K C}{H C} = \frac{B C}{D C}\) hay \(\frac{K C}{H C} = \frac{B C}{A B}\) (*)

Xét tứ giác \(A K C H\) có: \(\hat{A} + \hat{H C K} = 18 0^{\circ}\);

\(\hat{A} + \hat{A B C} = 18 0^{\circ}\)

Suy ra: \(\hat{A B C} = \hat{H C K}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\Delta C K H \sim \Delta B C A\) (c-g-c)

b) \(\Delta C K H \sim \Delta B C A\) suy ra \(\frac{H K}{A C} = \frac{C K}{B C}\)

\(H K = A C . \frac{C K}{B C} = A C . sin ⁡ \hat{K B C}\) mà \(\hat{B A D} = \hat{K B C}\) (cặp góc đồng vị) nên \(H K = A C . sin ⁡ \hat{B A D}\).

Gọi \(x , y\)(đồng) lần lượt là giá niêm yết của mỗi mặt hàng \(A\) và \(B\) \(\left(\right. x > 0 , y > 0 \left.\right)\)

Một khách hàng mua hai món hàng \(A\) và một món hàng \(B\) thì phải trả số tiền là \(362 000\) đồng nên ta có:

\(80 \% x . 2 + 85 \% y = 362 000\) hay \(1 , 6 x + 0 , 85 y = 362 000\) (1)

Trong khung giờ vàng khách hàng mua ba món hàng \(A\) và hai món hàng \(B\) trong khung giờ vàng nên phải trả số tiền là \(552 000\) đồng nên ta có:

\(70 \% x . 3 + 75 \% y . 2 = 552 000\) hay \(2 , 1 x + 1 , 5 y = 552 000\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left{\right. & 1 , 6 x + 0 , 85 y = 362 000 \\ & 2 , 1 x + 1 , 5 y = 552 000\)

Giải hệ phương trình ta được: \(\left{\right. & x = 120 000 \\ & y = 200 000\)

Vậy giá niêm yết của mặt hàng \(A\) là \(120 000\) đồng, mặt hàng \(B\) là \(200 000\) đồng.

 a) Ta có \(\left(\right. 2 x + 1 \left.\right)^{2} - 9 x^{2} = 0\)

\(\left(\right. 2 x + 1 - 3 x \left.\right) \left(\right. 2 x + 1 + 3 x \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. - x + 1 \left.\right) \left(\right. 5 x + 1 \left.\right) = 0\)

+ Giải phương trình \(- x + 1 = 0\)

\(x = 1\)

+ Giải phương trình \(5 x + 1 = 0\)

\(x = \frac{- 1}{5}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = \frac{- 1}{5}\).

b) Ta có: \(\left{\right. & 5 x - 4 y = 3 \\ & 2 x + y = 4\)

\(\left{\right. & 5 x - 4 y = 3 \\ & 8 x + 4 y = 16\)

\(\left{\right. & 13 x = 19 \\ & 2 x + y = 4\)

\(\left{\right. & x = \frac{19}{13} \\ & y = \frac{14}{13}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \&\text{nbsp}; \left(\right. \frac{19}{13} ; \frac{14}{13} \left.\right)\).

Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là \(x\) (km/h) (\(x > 6\) ).

Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là \(x + 6\) (km/h)

Ta có \(x \leq 40\) nên \(x + 6 \leq 40 + 6\), tức là \(x + 6 \leq 46\)

Gọi \(s\) (km) là quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút \(= 2 , 5\) giờ

Ta có \(s = 2 , 5. \left(\right. x + 6 \left.\right)\) (km).

Do \(x + 6 \leq 46\) nên \(2 , 5. \left(\right. x + 6 \left.\right) < 2 , 5.46\) hay \(s \leq 115\)

Vậy quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút không vượt quá \(115\) km.