a) Ta có \(\Delta O A B\) cân tại \(O\) vì \(O A = O B = R\).

Mà \(M\) là trung điểm của \(A B\) nên \(O M\) là đường trung tuyến của tam giác \(O A B\).

Khi đó \(O M\) cũng là đường trung trực của đoạn thẳng \(A B\).

b) Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(A B\) chính là đoạn thẳng \(O M\).

\(M\) là trung điểm của \(A B\) nên \(A M = \frac{A B}{2} = 4\) cm. 

Xét \(\Delta O A M\) vuông tại \(M\), có \(O A^{2} = A M^{2} + O M^{2}\) (định lí Pythagore).

Suy ra \(O M = \sqrt{O A^{2} - A M^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3\) cm.

a) Vẽ đường tròn \(\left(\right. C ; 2\) cm\(\left.\right)\)

b) Đường tròn \(\left(\right. O ; 2\) cm\(\left.\right)\) và \(\left(\right. A ; 2\) cm\(\left.\right)\) cắt nhau tại \(C\), \(D\), điểm \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) nên:

\(O C = O D = 2\) cm, \(A C = A D = 2\) cm.

Suy ra \(O C = C A = 2\) cm.

Do đó đường tròn \(\left(\right. C ; 2\) cm\(\left.\right)\) đi qua hai điểm \(O\) và \(A\).

a) Xét tam giác \(A B H\) vuông tại \(H\), ta có \(H B = A H . tan ⁡ \hat{B A H} = 4. tan ⁡ 2 8^{\circ} \approx 2 , 1\) (cm)

Vì tam gaisc \(A H C\) vuông tại \(H\) nên \(H C = A H . cot ⁡ \hat{C} = 4. cot ⁡ 4 1^{\circ} \approx 4 , 6\) (cm)

b) Xét tam giác \(A B H\) vuông tại \(H\), ta có

\(cos ⁡ \hat{B A H} = \frac{A H}{A B}\) hay \(A B = \frac{A H}{cos ⁡ \hat{B A H}} = \frac{4}{cos ⁡ 28 ^{\circ}} \approx 4 , 5\) (cm)

Vì tam giác \(A H C\) vuông tại \(H\) nên \(sin ⁡ \hat{C} = \frac{A H}{A C}\) hay \(A C = \frac{A H}{sin ⁡ \hat{C}} = \frac{4}{sin ⁡ 4 1^{\circ}} \approx 6 , 1\) (cm).

Kẻ đường cao \(A H ⊥ B C\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 3. sin ⁡ 6 0^{\circ} \approx 2 , 6\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 3. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 1 , 5\)

Mà \(H C = B C - H B = 4 , 5 - 1 , 5 = 3 , 0\)

Theo định lí Pythagore ta có \(A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 2 , 6^{2} = 15 , 76\)

Suy ra \(A B = \sqrt{15 , 76} \approx 4 , 0\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có \(tan ⁡ \hat{A C H} = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 6}{3 , 0} \approx tan ⁡ 4 0^{\circ} 5 5^{'}\)

Do \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 6 0^{\circ} + 4 0^{\circ} 5 5^{'} \left.\right) = 7 9^{\circ} 5^{'}\).

Vẽ \(A H ⊥ B C\).

Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; A B H\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 2 , 1. sin ⁡ 7 0^{\circ} \approx 1 , 97\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 2 , 1. cos ⁡ 7 0^{\circ} \approx 0 , 72\)

Mặt khác, xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có

\(sin ⁡ \hat{C} = \frac{A H}{A C} \approx \frac{1 , 97}{3 , 8} \approx sin ⁡ 3 1^{\circ} 1 4^{'}\)

Do đó \(\hat{C} \approx 3 1^{\circ} 1 4^{'}\)

Mà \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 7 0^{\circ} + 3 1^{\circ} 1 4^{'} \left.\right) = 7 8^{\circ} 4 6^{'}\)

Ta có \(H C = A C . cos ⁡ \hat{C} \approx 3 , 80. cos ⁡ 3 1^{\circ} 1 4^{'} \approx 3 , 25\)

Mà \(B C = B H + H C = 0 , 72 + 3 , 25 = 3 , 97\).

Ta có \(\hat{A} = 180 ^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 7 5^{\circ}\)

Kẻ đường cao \(B H\).

Xét \(\Delta B C H\) vuông tại \(H\), ta có:

\(B H = B C . sin ⁡ \hat{C} = 4 , 2. sin ⁡ 4 0^{\circ} \approx 2 , 70\) (cm)

Tương tự, xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\), ta có:

\(A B = \frac{B H}{sin ⁡ \hat{A}} = \frac{2 , 70}{sin ⁡ 7 5^{\circ}} \approx 2 , 8\) (cm)

Mặt khác ta có \(A C = A H + C H = B H . \left(\right. cot ⁡ \hat{A} + cot ⁡ \hat{C} \left.\right) \&\text{nbsp}; \approx 2 , 70. \left(\right. cot ⁡ 7 5^{\circ} + cot ⁡ 4 0^{\circ} \left.\right) \approx 3 , 9\) cm.

Ta có \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 7 0^{\circ}\).

Kẻ đường cao \(A H\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\), ta có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 2 , 8. sin ⁡ 6 5^{\circ} \approx 2 , 54\) (cm).

Tương tự \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 2 , 8. cos ⁡ 6 5^{\circ} \approx 1 , 18\) (cm).

Mặt khác do giả thiết suy ra tam giác \(H A C\) vuông cân tại \(H\) nên \(H A = H C\).

Do đó \(B C \approx 2 , 54 + 1 , 18 = 3 , 7\) (cm).

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\), ta có \(A C = \frac{H A}{sin ⁡ C} = \frac{2 , 54}{sin ⁡ 4 5^{\circ}} \approx 3 , 6\) (cm).

a) \(A = \left(\right. \frac{4 \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} + \frac{8 x}{4 - x} \left.\right) : \left(\right. \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \left.\right)\)

\(= \left[\right. \frac{4 \sqrt{x} \left(\right. 2 - \sqrt{x} \left.\right) + 8 x}{\left(\right. 2 + \sqrt{x} \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{x} \left.\right)} \left]\right. : \left[\right. \frac{\sqrt{x} - 1 - 2 \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{\sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)} \left]\right.\)

\(= \frac{8 \sqrt{x} + 4 x}{\left(\right. 2 + \sqrt{x} \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{x} \left.\right)} . \frac{\sqrt{x} \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{3 - \sqrt{x}}\)

\(= \frac{4 \sqrt{x} \left(\right. 2 + \sqrt{x} \left.\right)}{\left(\right. 2 + \sqrt{x} \left.\right) \left(\right. 2 - \sqrt{x} \left.\right)} . \frac{- \sqrt{x} \left(\right. 2 - \sqrt{x} \left.\right)}{3 - \sqrt{x}}\)

\(= \frac{4 x}{\sqrt{x} - 3}\).

b) Để \(A = - 2\) thì \(\frac{4 x}{\sqrt{x} - 3} = - 2\)

\(\frac{4 x}{\sqrt{x} - 3} + 2 = 0\)

\(\frac{4 x + 2 \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)}{\sqrt{x} - 3} = 0\)

\(4 x + 2 \sqrt{x} - 6 = 0\)

\(\sqrt{x} = 1\) hoặc \(\sqrt{x} = - \frac{3}{2}\) (vô lí)

Suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn).

a) Ta có:

\(P = \frac{2 x - 3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}\)

\(= \frac{\left(\right. 2 \sqrt{x} + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{\sqrt{x} - 2}\)

\(= 2 \sqrt{x} + 1\).

\(Q = \frac{\sqrt{x^{3}} - \sqrt{x} + 2 x - 2}{\sqrt{x} + 2}\)

\(= \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right)}{\sqrt{x} + 2}\)

\(= x - 1\).

b) Để \(P = Q\) thì \(2 \sqrt{x} + 1 = x - 1\)

\(- x + 2 \sqrt{x} + 2 = 0\)

Coi phương trình là phương trình bậc hai của \(\sqrt{x}\), chú ý chọn nghiệm dương của phương trình ta được \(\sqrt{x} = 1 + \sqrt{3}\) nên \(x = 4 + 2 \sqrt{3}\) (thỏa mãn).

Suy ra \(x = 4 + 2 \sqrt{3}\) thì \(P = Q\).

a) \(P = \frac{3}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 1}\)

\(= \frac{3 \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) - \left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right) - \left(\right. \sqrt{x} - 5 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{3 \sqrt{x} - 3 - \sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} + 5}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{\sqrt{x} + 1}{\left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{x} - 1}\).

b) Chú ý \(\sqrt{x} = \sqrt{\left(\right. 4 - 2 \sqrt{2} \left.\right)^{2}} = 4 - 2 \sqrt{2}\).

Vậy \(P = \frac{1}{4 - 2 \sqrt{2} - 1}\)

\(= \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}\)

\(= \frac{3^{2} - \left(\right. 2 \sqrt{2} \left.\right)^{2}}{3 - 2 \sqrt{2}}\)

\(= 3 + 2 \sqrt{2}\).