a) Gọi \(y = a x + b\) là phương trình đường thẳng \(A B\).

Ta có \(\left{\right. & a . \left(\right. - 1 \left.\right) + b = 1 \\ & a . 3 + b = 9\)

\(\left{\right. & a = 2 \\ & b = 3\)

Suy ra phương trình đường thẳng \(A B\) là \(\left(\right. d \left.\right) : y = 2 x + 3\).

Đường thẳng \(A B\) cắt trục \(O y\) tại điểm \(I \left(\right. 0 ; 3 \left.\right)\).

(Học sinh tự vẽ hình)

Diện tích tam giác \(O A B\) là: \(S_{O A B} = S_{O A I} + S_{O B I} = \frac{1}{2} A H . O I + \frac{1}{2} B K . O I\).

Ta có \(A H = 1 ; B K = 3 ; O I = 3\).

Suy ra \(S_{O A B} = 6\) (đvdt).

b) Giả sử \(C \left(\right. c ; c^{2} \left.\right)\) thuộc cung nhỏ \(\left(\right. P \left.\right)\) với \(- 1 < c < 3\). 

Diện tích tam giác \(S_{A B C} = S_{A B B^{'} A^{'}} - S_{A C C^{'} A^{'}} - S_{B C C^{'} B^{'}}\). 

Các tứ giác \(A B B^{'} A^{'} , A A^{'} C^{'} C , C B B^{'} C^{'}\) đều là hình thang vuông nên ta có: 

\(S_{A B C} = \frac{1 + 9}{2} . 4 - \frac{1 + c^{2}}{2} . \left(\right. c + 1 \left.\right) - \frac{9 + c^{2}}{2} . \left(\right. 3 - c \left.\right) = 8 - 2 \left(\right. c - 1 \left.\right)^{2} \leq 8\).

Vậy diện tích tam giác \(A B C\) lớn nhất bằng \(8\) (đvdt) khi \(C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right)\).

a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(O x y\).

+ Xét parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = x^{2}\)

Bảng giá trị:

Parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) là đường cong có đỉnh \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), qua các điểm \(\left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; \left(\right. 2 ; 4 \left.\right) , \&\text{nbsp}; \&\text{nbsp}; \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right)\)

+ Xét đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = x + 2\)

Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt trục \(O x\) tại điểm \(\left(\right. - 2 ; 0 \left.\right)\), cắt trục \(O y\) tại điểm \(\left(\right. 0 ; 2 \left.\right)\)

Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(O x y\)

b)  Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\):

\(x^{2} = x + 2\)

\(x^{2} - x - 2 = 0\)

Ta có \(a - b + c = 0\)nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = - 1 \&\text{nbsp}; , x_{2} = - \frac{c}{a} = 2\)

+ Với \(x_{1} = - 1\) thì \(y_{1} = - 1 + 2 = 1\);

+ Với \(x_{2} = 2\) thì \(y_{2} = 2 + 2 = 4\).

Vậy parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt nhau tại hai điểm \(\left(\right. - 1 ; 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\).

a) Vẽ đồ thị parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = 2 x^{2} .\)

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Gọi \(M \left(\right. a ; b \left.\right)\) là điểm cần tìm với \(a \neq 0 ; b \neq 0\).

Vì \(M\) có tung độ gấp hai lần hoành độ nên \(b = 2 a\)

Khi đó \(M \left(\right. a ; 2 a \left.\right)\).

Vì \(M \left(\right. a ; 2 a \left.\right) \in \left(\right. P \left.\right) : y = 2 x^{2}\) nên: \(2 a = 2 a^{2}\)

\(2 a^{2} - 2 a = 0\)

\(a^{2} - a = 0\)

\(a \left(\right. a - 1 \left.\right) = 0\)

\(a = 0\) và \(a = 1\)

Vì \(a \neq 0\) nên ta chọn \(a = 1\).

Vậy \(M \left(\right. 1 ; 2 \left.\right)\).

a) Vẽ đồ thị \(\left(\right. P \left.\right)\).

Đồ thị hàm số \(y = - x^{2}\) đi qua gốc tọa độ \(O\), có bề lõm hướng xuống và nhận \(O y\) làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = - x^{2}\) đi qua các điểm \(\left(\right. - 2 ; - 4 \left.\right)\), \(\left(\right. - 1 ; - 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\), \(\left(\right. 1 ; - 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 ; - 4 \left.\right)\).

Đồ thị Parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = - x^{2}\):

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là nghiệm của phương trình:

\(- x^{2} = 5 x + 6\)

\(x^{2} + 5 x + 6 = 0\)

Ta có: \(\Delta = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4.6 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = \frac{- 5 + 1}{2} = - 2\); \(x_{2} = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3\).

Với \(x_{1} = - 2\) thì \(y_{1} = - \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} = - 4\).

Với \(x_{2} = - 3\) thì \(y_{2} = - \left(\left(\right. - 3 \left.\right)\right)^{2} = - 9\).

Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(A \left(\right. - 2 ; - 4 \left.\right)\)và \(B \left(\right. - 3 ; - 9 \left.\right)\).

a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(d\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(O x y\)

Bảng giá trị hàm số \(y = 2 x^{2}\):

Đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) là đường cong Parabol đi qua điểm \(O\), nhận \(O y\) làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua điểm \(\left(\right. 0 ; 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. - 1 ; 0 \left.\right)\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là nghiệm của phương trình

\(2 x^{2} = x + 1\)

\(2 x^{2} - x - 1 = 0\).

Ta có \(a + b + c = 2 - 1 - 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = 1\) và \(x = \frac{c}{a} = - \frac{1}{2}\).

+ Với \(x = 1\) thì \(y = 1 + 1 = 2\)

+ Với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(y = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(\left(\right. 1 ; 2 \left.\right)\) và \(\left(\right. - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \left.\right)\).

a) Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) :\)

Parabol \(\left(\right. P \left.\right)\):

Vẽ đồ thị:

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là nghiệm của phương trình

\(\frac{1}{4} x^{2} = - \frac{1}{2} x + 2\)

\(x^{2} + 2 x - 8 = 0\)

\(\Delta^{'} = 1^{2} - \left(\right. - 8 \left.\right) = 9 > 0\)

Do \(\Delta^{'} > 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \(x = - 4\) và \(x = 2\)

+ Với \(x = - 4\) thì \(y = 4\)

+ Với \(x = 2\) thì \(y = 1\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(\left(\right. - 4 ; 4 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 ; 1 \left.\right)\).

- Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Gọi \(C\) là điểm thuộc \(\left(\right. P \left.\right)\) có tung độ bằng \(16\).

Ta có: \(y_{C} = 16\) hay \(\left(\right. x_{C} \left.\right)^{2} = 16\) suy ra \(x_{C} = \pm 4\).

Vậy \(C \left(\right. 4 ; 16 \left.\right)\)  hoặc \(C \left(\right. - 4 ; 16 \left.\right)\).

c) Gọi \(D\) là điểm thuộc \(\left(\right. P \left.\right)\) cách đều hai trục tọa độ. 

Ta có: \(d \left(\right. D , O x \left.\right) = \mid y_{D} \mid = x_{D}^{2} ;\)

\(d \left(\right. D , O y \left.\right) = \mid x_{D} \&\text{nbsp}; \mid\).

Theo giả thiết ta có: \(x_{D}^{2} = \mid x_{D} \mid\) suy ra \(\mid x_{D} \mid = 0\) (loại) hoặc \(\mid x_{D} \mid = 1\).

Vậy \(D \left(\right. 1 ; 1 \left.\right)\) hoặc \(D \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right)\).

- Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 4 ; 8 \left.\right) , B \left(\right. - 2 ; 2 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 2 ; 2 \left.\right) , D \left(\right. 4 ; 8 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\).

b)

- Thay \(x = - 5\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. - 5 \left.\right)^{2} = \frac{25}{2} \neq - \frac{25}{2}\),

Do đó điểm \(M \left(\right. - 5 ; - \frac{25}{2} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = - \frac{3}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. - \frac{3}{2} \left.\right)^{2} = \frac{9}{8}\),

Do đó điểm \(N \left(\right. - \frac{3}{2} ; \frac{9}{8} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)^{2} = \frac{1}{8} \neq 2\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{1}{2} ; 2 \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 4 ; - 4 \left.\right) ,\) \(B \left(\right. - 2 ; - 1 \left.\right)\), \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) ,\) \(C \left(\right. 2 ; - 1 \left.\right) ,\) \(D \left(\right. 4 ; - 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\).

b)

- Thay \(x = - 8\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. - 8 \left.\right)^{2} = - 16\),

Do đó điểm \(E \left(\right. - 8 ; - 16 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = - \frac{1}{3}\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right)^{2} = - \frac{1}{36}\),

Do đó điểm \(F \left(\right. - \frac{1}{3} ; - \frac{1}{36} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = \frac{2}{5}\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. \frac{2}{5} \left.\right)^{2} = - \frac{4}{100} \neq \frac{4}{100}\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{2}{5} ; \frac{4}{100} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(B \left(\right. - 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(O \left(\right. 0 ; 0 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(C \left(\right. 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(D \left(\right. 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\).

b)

+ Thay \(x = - 4\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. - 4 \left.\right)^{2} = 32\),

Do đó điểm \(M \left(\right. - 4 ; 32 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

+ Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} = \frac{1}{2}\),

Do đó điểm \(N \left(\right. - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

+ Thay \(x = \frac{3}{4}\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. \frac{3}{4} \left.\right)^{2} = \frac{9}{8} \neq \frac{9}{16}\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{3}{4} ; \frac{9}{16} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.