a) Vì đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left(\right. 0 ; - 5 \left.\right)\) nên ta có:

\(2 m + 3 = - 5\)

\(2 m = - 8\)

\(m = - 4\).

Vậy với \(m = - 4\) thì đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt trục tung tại tọa độ \(\left(\right. 0 ; - 5 \left.\right)\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là:

\(x^{2} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + 2 m + 3\)

\(x^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x - 2 m - 3 = 0\) (*).

Ta có: \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 2 m + 3 = m^{2} - 2 m + 1 + 2 m + 3 = m^{2} + 4\).

Vì \(m^{2} \geq 0\) với mọi \(m\) nên \(\Delta^{'} = m^{2} + 4 \geq 4 > 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)

Suy ra đường thẳng \(d\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

Theo định lí Viète ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \\ & x_{1} x_{2} = - 2 m - 3\)

hay \(\left{\right. & x_{A} + x_{B} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \\ & x_{A} x_{B} = - 2 m - 3\)

Mà \(x_{A}^{2} + x_{B}^{2} = 10\) nên

\(\left(\left(\right. x_{A} + x_{B} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{A} x_{B} = 10\)

\(4 \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} - 2 \left(\right. - 2 m - 3 \left.\right) = 10\)

\(4 m^{2} - 8 m + 4 + 4 m + 6 = 10\)

\(4 m^{2} - 4 m = 0\)

\(4 m \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

\(m = 0\); \(m = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(m \in \left{\right. 0 ; 1 \left.\right}\).

Phương trình \(x^{2} - 2 x + m - 1 = 0\) có \(\Delta^{'} = 1 - m + 1 = 2 - m\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi \(\Delta^{'} \geq 0\)

\(2 - m \geq 0\)

\(m \leq 2\)

Khi đó theo định li Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 ; x_{1} x_{2} = m - 1\)

Do \(x_{1} ; x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(x^{2} - 2 x + m - 1 = 0\) nên ta có:

\(\left{\right. x_{1}^{2} = 2 x_{1} - m + 1 \\ x_{2}^{2} = 2 x_{2} - m + 1\)

Theo bài ra ta có:

\(x_{1}^{4} - x_{1}^{3} = x_{2}^{4} - x_{2}^{3}\)

\(x_{1}^{4} - x_{2}^{4} - \left(\right. x_{1}^{3} - x_{2}^{3} \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 m + 2 \left.\right) \left(\right. 2 x_{1} - m + 1 - 2 x_{2} + m - 1 \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left[\right. 2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 m + 2 + m - 1 \left]\right. = 0\)

\(\left(\right. 2.2 - 2 m + 2 \left.\right) . 2 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 2.2 - m + 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 \left(\right. 6 - 2 m \left.\right) - 5 + m \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. 3 m + 7 \left.\right) = 0\)

\(x_{1} = x_{2}\); \(m = \frac{7}{3}\) (ktm)

Thay \(x_{1} = x_{2}\) vào (1) ta được:

\(\left{\right. 2 x_{1} = 2 \\ x_{1}^{2} = m - 1\)

\(\left{\right. x_{1} = 1 \\ m = 2 \left(\right. t m \left.\right)\)

Vậy \(m = 2\).

Xét phương trình \(x^{2} - 2 m x + 4 m - 4 = 0\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_{1}\), \(x_{2}\) khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(m^{2} - 4 m + 4 > 0\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} > 0\)

\(m - 2 \neq 0\)

\(m \neq 2\)

Với \(m \neq 2\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_{1}\), \(x_{2}\).

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 2 m\);

\(x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} = 4 m - 4\)

Theo đề bài ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 8 = 0\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 8 = 0\)

\(\left(\right. 2 m \left.\right)^{2} - 2. \left(\right. 4 m - 4 \left.\right) - 8 = 0\)

\(4 m^{2} - 8 m + 8 - 8 = 0\)

\(4 m^{2} - 8 m = 0\)

\(4 m \left(\right. m - 2 \left.\right) = 0\)

\(4 m = 0\) hoặc \(m - 2 = 0\)

\(m = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 2\) (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m = 0\).

Phương trình \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + m^{2} + 2 m = 0\) (1) có:

\(\Delta^{'} = \left[\right. - \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - \left(\right. m^{2} + 2 m \left.\right) = m^{2} + 2 m + 1 - m^{2} - 2 m = 1 > 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) với mọi \(m\), mà \(x_{1} < x_{2}\) nên:

\(x_{1} = m + 1 - 1 = m\);

\(x_{2} = m + 1 + 1 = m + 2\);

\(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn: \(\mid x_{1} \mid = 3 \mid x_{2} \mid\)

\(\mid m \mid = 3 \mid m + 2 \mid\)

\(m = 3 \left(\right. m + 2 \left.\right)\) hoặc \(m = - 3 \left(\right. m + 2 \left.\right)\)

\(3 m + 6 = m\) hoặc \(m = - 3 m - 6\)

\(m = - 3\) (thỏa mãn) hoặc \(m = \frac{- 3}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy tất cả các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu là: \(m = - 3\) và \(m = - \frac{3}{2}\).

Phương trình \(x^{2} - m x + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta > 0\).

\(\left(\right. - m \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m - 2 \left.\right) > 0\)

\(m^{2} - 4 m + 8 > 0\)

\(\left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} + 4 > 0\) (luôn đúng).

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\).

Theo hệ thức Viète ta có: \(x_{2} + x_{2} = m\); \(x_{1} x_{2} = m - 2\).

Theo bài ra ta có:

\(x_{1} - x_{2} = 2 \sqrt{5}\)

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = 20\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} x_{2} = 20\)

\(\left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} \left.\right) - 4 x_{1} x_{2} = 20\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 20\)

\(m^{2} - 4 \left(\right. m - 2 \left.\right) = 20\)

\(m^{2} - 4 m - 12 = 0\) (1)

Ta có \(\Delta_{\left(\right. 1 \left.\right)}^{'} = 2^{2} - 1. \left(\right. - 12 \left.\right) = 16 > 0\) nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

\(m_{1} = \frac{2 + \sqrt{16}}{1} = 6 ;\) \(m_{2} = \frac{2 - \sqrt{16}}{1} = - 2\).

Ta có: \(\Delta^{'} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - m + 1 = 2 - m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) thì \(\Delta^{'} > 0\)

\(2 - m > 0\)

\(m < 2\).

Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}\); \(x_{2}\), theo định lí Viète ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2\); \(x_{1} x_{2} = m - 1\)

Khi đó, \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0\) trở thành

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2} - 14 = 0\)

\(2^{2} - 3 \left(\right. m - 1 \left.\right) + \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 14 = 0\)

\(4 - 3 m + 3 + m^{2} - 2 m + 1 - 14 = 0\)

\(m^{2} - 5 m - 6 = 0\)

\(\left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. m - 6 \left.\right) = 0\)

\(m = - 1\) (nhận) hoặc \(m = 6\) (loại).

Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn yêu cầu.

Ta có: \(\Delta^{'} = 2^{2} - \left(\right. m - 1 \left.\right) = 5 - m\)

Để phương trình có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\) thì \(\Delta^{'} \geq 0\) hay \(m \leq 5\)

Áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 4 ; x_{1} x_{2} = m - 1\)

Theo bài ta ta có:

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 14\)

\(4^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 14\)

\(m = 2\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với \(m = 2\) thì phương trình \(x^{2} - 4 x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\).

Ta có: \(\Delta = m^{2} - 4 \left(\right. m^{2} - m - 3 \left.\right) = 3 m^{2} - 4 m - 12\) .

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: \(\Delta \geq 0\)

\(m^{2} - 4 \left(\right. m^{2} - m - 3 \left.\right) \geq 0\)

\(3 m^{2} - 4 m - 12 \leq 0\) (1) 

Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên \(x_{1} , x_{2} > 0\).

Theo định lí Viète, ta có \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = m > 0 \\ & x_{1} . x_{2} = m^{2} - m - 3 > 0\) (2).

Từ giả thiết suy ra \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4\) suy ra \(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} . x_{2} = 4\).

Do đó \(m^{2} - 2 \left(\right. m^{2} - m - 3 \left.\right) = 4\)

\(m^{2} - 2 m - 2 = 0\)

\(m = 1 \pm \sqrt{3}\)

Thay \(m = 1 \pm \sqrt{3}\) vào (1) ta thấy \(m = 1 + \sqrt{3}\) thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là \(m = 1 + \sqrt{3}\).

Ta có: \(2 x^{2} + 4 x + m = 0\) (*)

\(\Delta^{'} = 2^{2} - 2. m = 4 - 2 m\)

Phương trình (*) có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\) khi \(\Delta^{'} \geq 0\)

\(4 - 2 m \geq 0\)

\(m \leq 2\)

Với \(m \leq 2\) thì phương trình (*) có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\), theo hệ thức Viète:

\(x_{1} + x_{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 ;\) \(x_{1} . x_{2} = \frac{m}{2}\)

Khi đó \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10\) trở thành

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10\)

\(\left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 2. \frac{m}{2} = 10\)

\(4 - m = 10\)

\(m = - 6\) (thỏa mãn).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là

\(x^{2} = 2 m x + 2 m - 3\)

\(x^{2} - 2 m x - 2 m + 3 = 0\) (1)

\(\Delta^{'} = \left(\right. - m \left.\right)^{2} - \left(\right. - 2 m + 3 \left.\right) = m^{2} + 2 m - 3\)

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) tiếp xúc với parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) thì phương trình (1) có nghiệm kép hay \(\Delta^{'} = 0\)

\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

\(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m + 3 \left.\right) = 0\)

\(m = 1\) hoặc \(m = - 3\)

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 3\) là các giá trị cần tìm.