a)Vì M là trung  điểm của BC và N là trung điểm của AD=2AB và AD=BC(vì ABCD là hình bình hành),suy ra AB=BM=MC=CD=DN=NA.

-Xét tứ giác MCDN:

-MN//CĐ

-MC=CD=DN=NM(vì cùng bằng AB)

MCDN là hình thoi.

b)Vì ABCD là hình bình hành,nên AB//MD.

Xét hình thang ABMD:

-Góc BAD= 60 độ

-AD=2AB,suy ra AD=BCvà BM=MC=AB

ABMD là hình thang cân.

 để chứng minh AM=BD, xetá tam giác ABD và tam giá ABM:

-AB chung

-AD=2AB và BM=AB,suy ra AD=2BM

-góc BAD=góc ABM=60 độ

C)Chứng m,inh AM,DB,KN đồng quy

Gọi O là giao điểm của AM và DB.

Để chứng minh KN i qua O, cần chứng minh K,O,N thẳng hàng.

Vì MCDN là hình thoi,nên MN//CD và MN=CD.

Xét tam giác KBM và tam giác KAD:

-gó K chung

-góc KBM=Góc KAD(ồng vị)

-BM/AD=1/2(vì AD=2AB và BM=AB)

Vậy,AM,DB,KN đồng quy tại O

Xét tam giác OAP và tam giác OBR:

-OA=OB(vì ABCD là hình vuông)

-Góc AOP=góc OBR=45 độ (vì đương chéo hình vuông chia góc vuông thành 2 góc 45 độ)

- tam giác OAP= tam giác OBR,suy ra OP=Ỏ

b) Từ tam giác OAP= tam giác OBR,suy ra OP=OR.

Xét tam giác OCS và tam giác ODQ:

-OC=OD(vì ABCD là hình vuông)

-Góc COS=góc DOQ(đối đỉnh)

-Góc OCS= góc ODC bằng 45 độ

Tam giác OCS= tam giác ODQ(g-c-g)suy ra OS=OQ.

Vậy OP=OR=OS=OQ.

c)Xét tứ giác PRQS:

-OP=OR=OS=OQ(cmt)

- đường chéo PR và QS cắt nhau tại O và O là trung điểm của 2 đg chéo

PRQS là hình thoi

Lại có,góc POR= 90 độ(vì đg thẳng m và n vuông góc vs nhau tạih O)suy ra,PRQS là hình thoi vó 1 gó vuông,nên PRQS là hình vuông.

Vậy PRQS là hình vuông.