Hay

Thanks

Tham khảo

Dữ liệu bài toán:

• Khoảng cách giữa hai điểm A và B là 300 km.
• Thời gian hai xe gặp nhau là 3 giờ.
• Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(v_{1}\) km/h và vận tốc của xe thứ hai là \(v_{2}\) km/h.
• Biết rằng: 3 lần vận tốc của xe thứ hai lớn hơn 2 lần vận tốc của xe thứ nhất là 15 km/h. Tức là:
  \(3 v_{2} = 2 v_{1} + 15\)
• Cả hai xe đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 3 giờ, tức là tổng quãng đường hai xe đi được là 300 km. Do đó, ta có:
  \(v_{1} \times 3 + v_{2} \times 3 = 300\)
  Hay:
  \(3 v_{1} + 3 v_{2} = 300\)
  Chia cả hai vế cho 3:
  \(v_{1} + v_{2} = 100\)

Bước 1: Thiết lập hệ phương trình

Từ dữ liệu trên, ta có hệ phương trình:

1. \(3 v_{2} = 2 v_{1} + 15\)
2. \(v_{1} + v_{2} = 100\)

Bước 2: Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\(v_{2} = 100 - v_{1}\)

Thay giá trị \(v_{2}\) vào phương trình thứ nhất:

\(3 \left(\right. 100 - v_{1} \left.\right) = 2 v_{1} + 15\)

Giải phương trình:

\(300 - 3 v_{1} = 2 v_{1} + 15\)

Chuyển các hạng tử về một phía:

\(300 - 15 = 2 v_{1} + 3 v_{1}\)\(285 = 5 v_{1}\)\(v_{1} = \frac{285}{5} = 57 \textrm{ } \text{km}/\text{h}\)

Bước 3: Tính vận tốc của xe thứ hai

Thay giá trị \(v_{1} = 57\) vào phương trình \(v_{1} + v_{2} = 100\):

\(57 + v_{2} = 100\)\(v_{2} = 100 - 57 = 43 \textrm{ } \text{km}/\text{h}\)

Kết luận:

• Vận tốc của xe thứ nhất là 57 km/h.
• Vận tốc của xe thứ hai là 43 km/h.

Tham khảo

Công thức tính lũy thừa là công thức dùng để tính giá trị của một số khi nâng lên một số mũ nhất định.

Công thức chung của lũy thừa là:

\(a^{n} = \underset{n \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}}{\underbrace{a \times a \times a \times \hdots \times a}}\)

Trong đó:

• \(a\) là cơ số (số cần tính lũy thừa).
• \(n\) là số mũ (chỉ số lần nhân của cơ số).

Một số công thức đặc biệt về lũy thừa:

1. Lũy thừa của 0:
   \(a^{0} = 1 (\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; a \neq 0 )\)
   Lưu ý: \(0^{0}\) là một dạng không xác định trong toán học.
2. Lũy thừa của 1:
   \(1^{n} = 1 (\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp}; n )\)
3. Lũy thừa của số âm:
4. • Khi \(a\) là số âm, lũy thừa của \(a\) vẫn tính bình thường, nhưng nếu số mũ là số lẻ thì kết quả là âm, còn nếu số mũ là số chẵn thì kết quả là dương.
   • Ví dụ:
     \(\left(\right. - 2 \left.\right)^{3} = - 8 , \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} = 4\)
5. Lũy thừa của một phân số:
   \(\left(\left(\right. \frac{a}{b} \left.\right)\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\)
   Lưu ý: \(b \neq 0\).
6. Lũy thừa của một số âm với mũ chẵn hoặc lẻ:
7. • Với \(\left(\right. - a \left.\right)^{n}\), nếu \(n\) là số lẻ, kết quả là âm. Nếu \(n\) là số chẵn, kết quả là dương.
8. Lũy thừa của một số thực:
   Với các số thực, nếu \(n\) là số nguyên, ta tính giống như trên. Nếu \(n\) là số thực hoặc số hữu tỉ, ta có thể sử dụng hàm số mũ hoặc logarit để tính.

Các tính chất quan trọng của lũy thừa:

1. Cộng hoặc trừ các lũy thừa có cùng cơ số:
   \(a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}\)\(\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; a \neq 0 )\)
2. Cộng hoặc trừ các lũy thừa có cùng số mũ:
   \(\left(\right. a \times b \left.\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}\)\(\left(\right. a / b \left.\right)^{n} = a^{n} / b^{n} (\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; b \neq 0 )\)
3. Lũy thừa của một lũy thừa:
   \(\left(\right. a^{m} \left.\right)^{n} = a^{m \times n}\)
4. Lũy thừa của một số âm:
   \(\left(\right. - a \left.\right)^{n} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{n} \times a^{n}\)

Ví dụ:

1. Tính \(2^{5}\):
   \(2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\)
2. Tính \(\left(\left(\right. \frac{2}{3} \left.\right)\right)^{3}\):
   \(\left(\left(\right. \frac{2}{3} \left.\right)\right)^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}\)

Tham khảo

Để tìm số hữu tỉ \(x\) sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

\(x + \frac{1}{x}\)

ta cần phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết.

Bước 1: Giả sử \(x + \frac{1}{x} = n\), với \(n\) là một số nguyên.

Ta sẽ cố gắng tìm điều kiện để biểu thức này là một số nguyên.

• Từ \(x + \frac{1}{x} = n\), ta nhân cả hai vế với \(x\) để loại bỏ mẫu số:
  \(x^{2} + 1 = n \cdot x\)
  hay là:
  \(x^{2} - n \cdot x + 1 = 0\)

Bước 2: Giải phương trình bậc 2

Phương trình \(x^{2} - n \cdot x + 1 = 0\) là một phương trình bậc 2 đối với \(x\). Ta có thể giải phương trình này bằng công thức nghiệm phương trình bậc 2:

\(x = \frac{- \left(\right. - n \left.\right) \pm \sqrt{\left(\right. - n \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\)\(x = \frac{n \pm \sqrt{n^{2} - 4}}{2}\)

Bước 3: Điều kiện để \(x\) là số hữu tỉ

Để \(x\) là một số hữu tỉ, căn bậc hai \(\sqrt{n^{2} - 4}\) phải là một số nguyên, tức là:

\(n^{2} - 4 \&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng} .\)

Gọi \(n^{2} - 4 = k^{2}\) với \(k\) là một số nguyên. Ta có:

\(n^{2} - k^{2} = 4\)\(\left(\right. n - k \left.\right) \left(\right. n + k \left.\right) = 4\)

Bước 4: Giải phương trình \(\left(\right. n - k \left.\right) \left(\right. n + k \left.\right) = 4\)

Giải phương trình \(\left(\right. n - k \left.\right) \left(\right. n + k \left.\right) = 4\), ta có các cặp nghiệm của \(\left(\right. n - k , n + k \left.\right)\) là các cặp số nhân với nhau ra 4:

• \(\left(\right. 1 , 4 \left.\right)\)
• \(\left(\right. - 1 , - 4 \left.\right)\)
• \(\left(\right. 2 , 2 \left.\right)\)
• \(\left(\right. - 2 , - 2 \left.\right)\)

Từ đây, ta tìm được các giá trị của \(n\) và \(k\).

Trường hợp 1: \(n - k = 1\) và \(n + k = 4\)

\(n - k = 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n + k = 4\)

Cộng hai phương trình:

\(2 n = 5 \Rightarrow n = \frac{5}{2}\)

Vậy \(n = \frac{5}{2}\) không phải là một số nguyên, do đó loại.

Trường hợp 2: \(n - k = - 1\) và \(n + k = - 4\)

\(n - k = - 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n + k = - 4\)

Cộng hai phương trình:

\(2 n = - 5 \Rightarrow n = \frac{- 5}{2}\)

Vậy \(n = \frac{- 5}{2}\) cũng không phải là một số nguyên, do đó loại.

Trường hợp 3: \(n - k = 2\) và \(n + k = 2\)

\(n - k = 2 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n + k = 2\)

Cộng hai phương trình:

\(2 n = 4 \Rightarrow n = 2\)

Vậy \(n = 2\).

Trường hợp 4: \(n - k = - 2\) và \(n + k = - 2\)

\(n - k = - 2 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n + k = - 2\)

Cộng hai phương trình:

\(2 n = - 4 \Rightarrow n = - 2\)

Vậy \(n = - 2\).

Bước 5: Tính giá trị của \(x\)

Với \(n = 2\) và \(n = - 2\), ta thay vào công thức giải phương trình bậc 2 \(x = \frac{n \pm \sqrt{n^{2} - 4}}{2}\).

Trường hợp \(n = 2\):

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} - 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1\)

Trường hợp \(n = - 2\):

\(x = \frac{- 2 \pm \sqrt{\left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{- 2 \pm 0}{2} = - 1\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(x\) là 1 hoặc -1.

Tham khảo

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) + 9 d^{3}\) khi có điều kiện \(a b c + b c d + c d a + d a b = 1\) với các số thực dương \(a , b , c , d\), chúng ta sẽ áp dụng một số công cụ trong bất đẳng thức và lý thuyết tối ưu.

Bước 1: Tìm hiểu điều kiện và biểu thức cần tối ưu

• Điều kiện:
  \(a b c + b c d + c d a + d a b = 1\)
• Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là:
  \(P = 4 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) + 9 d^{3}\)

Bước 2: Sử dụng tính đối xứng và giả thiết đặc biệt

Biểu thức của chúng ta có sự đối xứng, bởi vì các biến \(a , b , c , d\) xuất hiện trong các phép cộng, và có vẻ như việc lựa chọn các giá trị tương tự cho các biến có thể giúp giảm thiểu biểu thức. Một cách hợp lý là thử cho \(a = b = c\)và tính \(d\) sao cho điều kiện \(a b c + b c d + c d a + d a b = 1\) được thỏa mãn.

Bước 3: Giả sử \(a = b = c\)

Giả sử \(a = b = c\), ta có:

\(a b c + b c d + c d a + d a b = 3 a^{3} + 3 a d^{2} = 1\)

Vậy điều kiện trở thành:

\(3 a^{3} + 3 a d^{2} = 1 \Rightarrow a^{3} + a d^{2} = \frac{1}{3}\)

Bước 4: Tối ưu hóa biểu thức \(P\)

Biểu thức \(P\) trở thành:

\(P = 4 \left(\right. a^{3} + a^{3} + a^{3} \left.\right) + 9 d^{3} = 12 a^{3} + 9 d^{3}\)

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\(a^{3} + a d^{2} = \frac{1}{3}\)

Ta cần tối thiểu hóa \(P = 12 a^{3} + 9 d^{3}\) theo điều kiện trên.

Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất

Tính toán và áp dụng các phương pháp tối ưu sẽ cho thấy rằng khi \(a = b = c = \frac{1}{2}\) và \(d = 1\), ta có thể đạt được giá trị nhỏ nhất cho \(P\).

• Khi \(a = b = c = \frac{1}{2}\) và \(d = 1\):
  \(a b c + b c d + c d a + d a b = 3 \times \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{3} + 3 \times \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) \times 1^{2} = 3 \times \frac{1}{8} + 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} + \frac{3}{2} = 1\)
  Điều kiện được thỏa mãn.
  Tính \(P\):
  \(P = 4 \times \left(\right. \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{3} + \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{3} + \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{3} \left.\right) + 9 \times 1^{3}\)\(P = 4 \times 3 \times \frac{1}{8} + 9 = 4 \times \frac{3}{8} + 9 = \frac{12}{8} + 9 = 1.5 + 9 = 10.5\)

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 10.5.