=))

Tham khảo

Đây là một câu đố khá thú vị và có chút mẹo trong cách suy nghĩ. Thực ra, câu hỏi "1 nghìn nữa đi đâu rồi?" chỉ là một trò chơi trong cách làm toán, không phải là một câu hỏi thực sự về số học.

Hãy phân tích kỹ:

• Bạn có 50 nghìn từ bố và 50 nghìn từ mẹ, tổng cộng là 100 nghìn.
• Bạn mua quả bóng hết 97 nghìn, còn lại 3 nghìn.
• Bạn đưa 1 nghìn cho bố, 1 nghìn cho mẹ, và giữ lại 1 nghìn cho mình.

Lúc này, bạn đã trả 1 nghìn cho bố và 1 nghìn cho mẹ, tức là bạn đã giảm bớt món nợ còn lại:

• Nợ bố còn 49 nghìn.
• Nợ mẹ còn 49 nghìn.
• Số tiền bạn giữ lại là 1 nghìn.

Nhưng câu hỏi lại gợi ý bạn cộng lại 49 + 49 + 1 = 99 nghìn, như thể thiếu 1 nghìn. Tuy nhiên, việc cộng như vậy là sai hướng. Bạn không nên cộng 49 nghìn (nợ bố) + 49 nghìn (nợ mẹ) + 1 nghìn (tiền bạn giữ) vì chúng là các con số không liên quan trực tiếp nhau.

Sự thật là, bạn không thiếu tiền đâu! Bạn còn 1 nghìn trong tay, và bạn vẫn còn nợ bố và mẹ mỗi người 49 nghìn. Vậy, không có "1 nghìn nữa" nào bị mất đi, chỉ là cách đặt câu hỏi khiến mọi người dễ bị lầm tưởng thôi!

?

9

Tham khảo

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \(P = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + a + b \left.\right) - \frac{1}{a b}\), ta cần phân tích và tối ưu hóa biểu thức này.

Bước 1: Đặt lại biểu thức

Ta có biểu thức \(P\) là:

\(P = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + a + b \left.\right) - \frac{1}{a b}\)

Công việc tiếp theo là tìm cách để phân tích và tối ưu hóa biểu thức này, sử dụng các kỹ thuật như đạo hàm, bất đẳng thức hoặc những mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức để đơn giản hóa

Giả sử \(a = b\), vì trong các bài toán tối ưu hóa thường tìm kiếm điểm cân bằng bằng cách giả sử \(a = b\). Ta sẽ thử áp dụng trường hợp này.

Khi \(a = b\), biểu thức \(P\) sẽ trở thành:

\(P = 2 a \left(\right. \frac{2}{a^{3}} + 2 a \left.\right) - \frac{1}{a^{2}}\)

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa và tính giá trị cực trị.

Bước 3: Tính đạo hàm để tìm cực trị

Ta tính đạo hàm của \(P\) theo \(a\), giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \(a\) (hay \(b\)) tại các điểm cực trị.

6

Tham khảo

1. 1. Xác định tính chất đường phân giác
   • I là tâm nội tiếp tam giác ABC, tức là nó cách đều ba cạnh của tam giác. 
   • Do I là giao điểm ba đường phân giác nên AI là phân giác góc A. 
2. 2. Xây dựng điểm E và D
   • I là trung điểm của DE. Điều này gợi ý đến phép vị tự tâm I tỉ lệ -1 hoặc sử dụng tính đối xứng qua I. 
   • AE cắt BC tại F. 
3. 3. Chứng minh BD = CF
   • Sử dụng tính chất của tâm nội tiếp: 
   • • Gọi H là hình chiếu của I lên AB, K là hình chiếu của I lên AC, L là hình chiếu của I lên BC. Khi đó IH = IK = IL = r (bán kính đường tròn nội tiếp). 
     • Do I là trung điểm DE, nên ta có thể có D, I, E thẳng hàng và DI = IE. 
   • Sử dụng định lý Menelaus: Ta có thể áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCF và đường thẳng AIE, hoặc các tam giác khác để có các tỉ lệ cạnh. 
   • Sử dụng phép vị tự: Xét phép vị tự tâm I tỉ lệ -1 biến D thành E. Khi đó, A sẽ được biến thành một điểm A' sao cho A' cũng nằm trên đường thẳng AE. Nếu ta chứng minh được rằng A' là F, thì bài toán sẽ được giải quyết. 

1. Gọi D' là điểm đối xứng với E qua I. Khi đó, I là trung điểm của DD'. 
2. Xét tam giác IDE, I là trung điểm của DE và DI = IE. Do đó, I là trung điểm của DD'. 
3. Sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus để chứng minh các tỉ lệ phù hợp, hoặc chứng minh các tam giác đồng dạng để đi đến BD = CF.