Hi

tham khảo

Đề bài:
Cho hình bình hành \(A B C D\); lấy điểm \(E\) thuộc \(A D\), điểm \(F\) thuộc \(B C\) sao cho \(A E = C F\).
Chứng minh: tứ giác \(A E C F\) là hình bình hành.

Lời giải:

Ý tưởng:
Để chứng minh tứ giác \(A E C F\) là hình bình hành, ta có thể chứng minh 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau hoặc chứng minh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Bước 1: Gọi tọa độ các điểm (hoặc dùng vectơ):

Giả sử vectơ:

• \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{u}\)
• \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{v}\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên:

• \(\overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{v}\)
• \(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{u}\)

Bước 2: Viết tọa độ điểm \(E\) và \(F\):

• \(E\) thuộc đoạn \(A D\), nên có vectơ:

\(\overset{⃗}{A E} = t \overset{⃗}{A D} = t \overset{⃗}{v} , 0 \leq t \leq 1\)

• \(F\) thuộc đoạn \(B C\), nên:

\(\overset{⃗}{B F} = s \overset{⃗}{B C} = s \overset{⃗}{v} , 0 \leq s \leq 1\)

Bước 3: Điều kiện \(A E = C F\):

• Độ dài \(A E = \mid \overset{⃗}{A E} \mid = t \mid \overset{⃗}{v} \mid\)
• Độ dài \(C F = \mid \overset{⃗}{C F} \mid\)

Vectơ \(\overset{⃗}{C F} = \overset{⃗}{C B} + \overset{⃗}{B F} = - \overset{⃗}{B C} + \overset{⃗}{B F} = - \overset{⃗}{v} + s \overset{⃗}{v} = \left(\right. s - 1 \left.\right) \overset{⃗}{v}\)

Do đó:

\(C F = \mid \left(\right. s - 1 \left.\right) \overset{⃗}{v} \mid = \mid s - 1 \mid \cdot \mid \overset{⃗}{v} \mid\)

Điều kiện \(A E = C F\) tương đương:

\(t \mid \overset{⃗}{v} \mid = \mid s - 1 \mid \mid \overset{⃗}{v} \mid \Rightarrow t = \mid s - 1 \mid\)

Bước 4: Chứng minh \(A E C F\) là hình bình hành

Ta xét vectơ:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A C} - \overset{⃗}{A E}\)\(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B F} = \overset{⃗}{u} + s \overset{⃗}{v}\)

Chúng ta sẽ chứng minh:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A F}\)

Điều này sẽ chứng minh \(A E C F\) là hình bình hành vì hai vectơ này là hai cạnh đối của tứ giác.

Tính từng vectơ:

• \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v}\)
• \(\overset{⃗}{A E} = t \overset{⃗}{v}\)

Vậy:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A C} - \overset{⃗}{A E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right) - t \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{v}\)

Như vậy:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{u} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{v}\)

Còn:

\(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{u} + s \overset{⃗}{v}\)

Như vậy, để \(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A F}\), cần:

\(s = 1 - t\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện \(t = \mid s - 1 \mid\) và \(s = 1 - t\):

Nếu \(s = 1 - t\), thì:

\(\mid s - 1 \mid = \mid 1 - t - 1 \mid = \mid - t \mid = t\)

Vậy điều kiện \(t = \mid s - 1 \mid\) hoàn toàn phù hợp.

Kết luận:

• Với \(E\) và \(F\) thỏa mãn \(A E = C F\) (tức \(t = \mid s - 1 \mid\)), ta có:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A F}\)

• Do đó, tứ giác \(A E C F\) có hai vectơ đối diện bằng nhau, nên \(A E C F\) là hình bình hành.

?

0

?

Ko

Tham khảo

Bạn đưa ra đề bài như sau:

Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Trước tiên, mình hiểu đề bạn muốn nói là:

Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Bước 1: Phân tích giả thiết

Giả thiết:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Nhân hai vế với \(a b + b c + c a\), ta được:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)

Bước 2: Chúng ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Viết dưới dạng đồng mẫu:

\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Tức là:

\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Suy ra:

\(\left(\right. b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3} \left.\right) \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) = a^{3} b^{3} c^{3}\)

Bước 3: Đặt

\(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\)

Ta cần chứng minh:

\(\left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) \left(\right. X + Y + Z \left.\right) = X Y Z\)

Bước 4: So sánh với giả thiết ban đầu

Ở giả thiết ban đầu, ta có:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)

Nhưng ở đây, biến thành:

\(\left(\right. X + Y + Z \left.\right) \left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) = X Y Z\)

Với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\).

Bước 5: Kết luận

Như vậy, giả thiết ban đầu đúng với \(a , b , c\) thì với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\) cũng thỏa mãn giả thiết tương tự. Vậy công thức bạn muốn chứng minh là đúng dựa trên giả thiết cho trước.

Tham khảo