Đề bài:
Tồn tại hay không các số tự nhiên \(x , y , z\) sao cho

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Phân tích:

• \(x , y , z \in \mathbb{N}\) (số tự nhiên, tức là \(0 , 1 , 2 , 3 , \ldots\)).
• Vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối, mỗi giá trị tuyệt đối có giá trị không âm và tương đối nhỏ nếu \(x , y , z\) nhỏ.
• Vế phải là tổng các số mũ với cơ số lớn (9, 11, 13) và lũy thừa theo \(x , y , z\), sẽ tăng rất nhanh khi \(x , y , z\)tăng.

Bước 1: So sánh quy mô 2 vế

• Vế trái:

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid \leq \mid x \mid + 3 \mid y \mid + \mid y \mid + 5 \mid z \mid + \mid z \mid + 7 \mid x \mid = 8 \mid x \mid + 4 \mid y \mid + 6 \mid z \mid\)

Tức là vế trái lớn nhất cũng chỉ là một số bậc nhất theo \(x , y , z\).

• Vế phải:

\(9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Là hàm số mũ tăng cực nhanh khi \(x , y , z\) tăng.

Bước 2: Kiểm tra trường hợp nhỏ

Thử với \(x = y = z = 0\):

\(\mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid = 0\)\(9^{0} + 11^{0} + 13^{0} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 1\):

\(\mid 1 - 3 \mid + \mid 1 - 5 \mid + \mid 1 - 7 \mid = 2 + 4 + 6 = 12\)\(9^{1} + 11^{1} + 13^{1} = 9 + 11 + 13 = 33\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 2\):

Vế trái:

\(\mid 2 - 6 \mid + \mid 2 - 10 \mid + \mid 2 - 14 \mid = 4 + 8 + 12 = 24\)

Vế phải:

\(9^{2} + 11^{2} + 13^{2} = 81 + 121 + 169 = 371\)

Không thỏa.

Bước 3: Nhận xét

• Vế phải tăng nhanh hơn vế trái rất nhiều.
• Vì vế trái là hàm tuyến tính (hoặc độ lớn nhất bậc 1), còn vế phải là hàm mũ, nên với \(x , y , z\) lớn, vế phải rất lớn và vế trái rất nhỏ so với vế phải.

Bước 4: Trường hợp vế phải nhỏ nhất

Để vế phải nhỏ nhất, cần \(x = y = z = 0\) (hoặc giá trị nhỏ nhất). Với các giá trị nhỏ đã thử thì không thỏa.

Kết luận:

Không tồn tại các số tự nhiên \(x , y , z\) để

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Tham khảo

Đề bài tóm tắt:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), với \(A B < A C\).
• \(A H\) là đường cao từ \(A\) xuống \(B C\).
• \(D , E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(A B\) và \(A C\).

a) Chứng minh: \(A D \cdot A B = A E \cdot A C\)

Phân tích:

• \(D\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A B\), nên \(H D \bot A B\).
• \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), nên \(H E \bot A C\).
• Ta cần chứng minh tích đoạn thẳng: \(A D \times A B = A E \times A C\).

Cách chứng minh:

1. Xét tam giác vuông \(A B C\) vuông tại \(A\), ta có \(A H\) là đường cao nên các tam giác nhỏ tạo ra đều có tỉ lệ thuận.
2. Vì \(D\) là hình chiếu \(H\) trên \(A B\), nên \(H D \bot A B\), do đó \(H D\) là đường cao trong tam giác \(A H B\). Tương tự \(H E\) là đường cao trong tam giác \(A H C\).
3. Trong tam giác \(A H B\), theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\(A D = A H \cdot cot ⁡ \left(\right. \angle H A B \left.\right)\)

Tương tự trong tam giác \(A H C\):

\(A E = A H \cdot cot ⁡ \left(\right. \angle H A C \left.\right)\)

1. Vì \(A B < A C\) và tam giác vuông tại \(A\), nên \(\angle H A B\) và \(\angle H A C\) liên hệ với các cạnh \(A B , A C\).
2. Từ các góc và tỉ số, ta có:

\(\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}\)

Suy ra:

\(A D \cdot A C = A E \cdot A B\)

Đổi vế thành:

\(A D \cdot A B = A E \cdot A C\)

b) Trên tia đối của tia \(A B\) lấy điểm \(F\) sao cho \(A F < A B\); vẽ hình chữ nhật \(A C G F\), \(B G\)cắt \(A C\) tại \(N\).

Yêu cầu: Chứng minh ...

Tham khảo

Bước 1: Viết lại biểu thức cho rõ hơn:

\(P = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. \frac{1}{a^{3}} + b + \frac{1}{b^{3}} + a \left.\right) - \frac{1}{a b}\)

Bước 2: Phân tích biểu thức

Ta có thể viết:

\(P = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a + b + \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} \left.\right) - \frac{1}{a b}\)

Tách thành 2 phần:

\(P = \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} \left.\right) - \frac{1}{a b}\)

Bước 3: Sử dụng tính chất đối xứng, đặt \(a = b = t > 0\) để tìm giá trị có thể lớn nhất

• Khi \(a = b = t\), biểu thức trở thành:

\(P = \left(\right. t + t \left.\right)^{2} + \left(\right. t + t \left.\right) \left(\right. \frac{1}{t^{3}} + \frac{1}{t^{3}} \left.\right) - \frac{1}{t \cdot t} = \left(\right. 2 t \left.\right)^{2} + 2 t \cdot \frac{2}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}\)\(= 4 t^{2} + 4 \frac{t}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}} = 4 t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - \frac{1}{t^{2}} = 4 t^{2} + \frac{3}{t^{2}}\)

Bước 4: Tìm GTLN của

\(Q = 4 t^{2} + \frac{3}{t^{2}} , t > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(\frac{4 t^{2} + \frac{3}{t^{2}}}{2} \geq \sqrt{4 t^{2} \cdot \frac{3}{t^{2}}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\)\(\Rightarrow 4 t^{2} + \frac{3}{t^{2}} \geq 4 \sqrt{3}\)

Bước 5: Kiểm tra giá trị đạt được:

• Đẳng thức xảy ra khi:

\(4 t^{2} = \frac{3}{t^{2}} \Rightarrow 4 t^{4} = 3 \Rightarrow t^{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow t = \sqrt[4]{\frac{3}{4}}\)

• Lúc này

Pmax⁡=43Pmax​=43​

Kết luận:

• Giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\boxed{4 \sqrt{3}}\), đạt được khi \(a = b = \sqrt[4]{\frac{3}{4}}\)

Tham khảo

Cho hình vuông \(A B C D\), \(O\) là giao điểm hai đường chéo, biết \(O A = 2 \sqrt{2}\) cm. Vẽ đường tròn tâm \(A\) bán kính 4 cm. Yêu cầu xác định vị trí tương đối của các điểm \(A , B , C , D\) với đường tròn tâm \(O\) bán kính 4 cm.

Bước 1: Tìm độ dài cạnh hình vuông

• \(O\) là giao điểm hai đường chéo nên \(O\) chính là trung điểm của đường chéo.
• Đường chéo \(A C = 2 \times O A = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}\) cm.
• Cạnh hình vuông:

\(A B = \frac{A C}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \&\text{nbsp};\text{cm} .\)

Bước 2: Tọa độ điểm

Giả sử \(O\) tại gốc tọa độ \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\).

• Vì \(O A = 2 \sqrt{2}\), ta có thể đặt \(A\) tại \(\left(\right. 2 \sqrt{2} , 0 \left.\right)\).
• Vì \(A B C D\) là hình vuông, các điểm còn lại:
• • \(C\) đối diện \(A\) qua \(O\) nên \(C = \left(\right. - 2 \sqrt{2} , 0 \left.\right)\).
  • \(B\) và \(D\) nằm trên đường vuông góc với \(A C\), cách \(O\) một khoảng \(O A = 2 \sqrt{2}\) trên phương vuông góc, nên:
  • • \(B = \left(\right. 0 , 2 \sqrt{2} \left.\right)\)
    • \(D = \left(\right. 0 , - 2 \sqrt{2} \left.\right)\).

Bước 3: Vẽ đường tròn tâm \(A\), bán kính 4 cm

• Đường tròn có tâm \(A \left(\right. 2 \sqrt{2} , 0 \left.\right)\) và bán kính 4 cm.

Bước 4: Xác định vị trí tương đối của các điểm \(A , B , C , D\) với đường tròn tâm \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), bán kính 4 cm

• Đường tròn tâm \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), bán kính 4 cm.

Tính khoảng cách từ tâm \(O\) đến từng điểm:

• \(O A = 2 \sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 < 4\) → \(A\) nằm trong đường tròn.
• \(O B = \sqrt{0^{2} + \left(\right. 2 \sqrt{2} \left.\right)^{2}} = \sqrt{8} = 2.828 < 4\) → \(B\) nằm trong đường tròn.
• \(O C = \mid - 2 \sqrt{2} \mid = 2.828 < 4\) → \(C\) nằm trong đường tròn.
• \(O D = \sqrt{0^{2} + \left(\right. - 2 \sqrt{2} \left.\right)^{2}} = 2.828 < 4\) → \(D\) nằm trong đường tròn.

Kết luận:

Các điểm \(A , B , C , D\) đều nằm bên trong đường tròn tâm \(O\) bán kính 4 cm.

Tham khảo

Câu 1: Xác định thể thơ và phương thức biểu đạt chính

• Thể thơ: Đoạn trích được viết theo thể thơ bốn câu (tứ tuyệt), mỗi câu 7 chữ, thể thơ thất ngôn tứ tuyệt.
• Phương thức biểu đạt chính: Phương thức biểu đạt chính là biểu cảm, thể hiện tình cảm sâu sắc của người con đối với mẹ.

Câu 2: Tình cảm của tác giả đối với mẹ được thể hiện như thế nào?

• Tác giả thể hiện tình cảm thương yêu, nhớ nhung và sự cô đơn khi mẹ vắng mặt.
• Có cảm giác nuối tiếc, đau xót khi mẹ đã “xa” (mất đi), câu thơ “lỏng chỏng giữa nhà mồ côi” gợi lên sự trống trải, cô đơn.
• Dù đã lớn tuổi, tác giả vẫn khẳng định “Con vẫn cần mẹ như thời trẻ thơ” – tình cảm gắn bó và tôn trọng mẹ suốt cuộc đời.

Câu 3: Thông điệp em tâm đắc nhất qua văn bản là gì? Nêu lí do chọn thông điệp đó.

Đoạn văn mẫu:
Thông điệp mà em tâm đắc nhất là tình mẫu tử thiêng liêng và sự cần thiết của mẹ trong cuộc đời mỗi người. Dù con người có lớn lên, trưởng thành hay trải qua bao nhiêu khó khăn, thì sự hiện diện và tình yêu thương của mẹ vẫn luôn là điều không thể thiếu. Em chọn thông điệp này vì nó giúp em hiểu rõ hơn về giá trị của gia đình và lòng biết ơn đối với công lao của mẹ.

Tham khảo