\(25\)

Mình sẽ giúp bạn phân tích và tính nhanh nhé!

Bước 1: Xác định dãy số

Nhìn vào các số đầu tiên:

• 17,75
• 16,25
• 14,75
• 13,25
  ...

Ta thấy số giảm dần đều:

\(16 , 25 - 17 , 75 = - 1 , 514 , 75 - 16 , 25 = - 1 , 513 , 25 - 14 , 75 = - 1 , 5\)

Vậy đây là cấp số cộng (csc) với:

• số hạng đầu \(a_{1} = 17 , 75\)
• công sai \(d = - 1 , 5\)

Bước 2: Xác định số hạng cuối của dãy này (bỏ qua số 11,25 tạm thời)

Cho đến số 2,75. Kiểm tra xem số hạng thứ bao nhiêu là 2,75:

Công thức số hạng thứ \(n\) của csc là:

\(a_{n} = a_{1} + \left(\right. n - 1 \left.\right) \times d\)

Thay \(a_{n} = 2 , 75\):

\(2 , 75 = 17 , 75 + \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. - 1 , 5 \left.\right)\)\(2 , 75 - 17 , 75 = \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. - 1 , 5 \left.\right)\)\(- 15 = - 1 , 5 \left(\right. n - 1 \left.\right)\)\(n - 1 = \frac{- 15}{- 1 , 5} = 10\)\(n = 11\)

Vậy số 2,75 là số hạng thứ 11.

Bước 3: Tính tổng 11 số hạng đầu của dãy

Công thức tổng \(S_{n}\) của cấp số cộng:

\(S_{n} = \frac{n}{2} \left(\right. a_{1} + a_{n} \left.\right)\)\(S_{11} = \frac{11}{2} \left(\right. 17 , 75 + 2 , 75 \left.\right) = \frac{11}{2} \times 20 , 5 = 11 \times 10 , 25 = 112 , 75\)

Bước 4: Cộng thêm số hạng 11,25 (ngoài dãy trên)

Tổng cuối cùng là:

\(C = 112 , 75 + 11 , 25 = 124\)

Kết luận:

\(\boxed{C = 124}\)

Tham khảo

Bài toán:

• Quãng đường AB = 120 km
• Xe ô tô đi hết 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ
• Xe máy đi với vận tốc bằng 75% vận tốc của ô tô.
• Hỏi xe máy đi quãng đường AB hết bao lâu?

Bước 1: Tính vận tốc của ô tô

\(v_{\hat{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{o}}} = \frac{\text{qu} \overset{\sim}{\text{a}} \text{ng}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}}{\text{th}ờ\text{i}\&\text{nbsp};\text{gian}} = \frac{120}{2 , 5} = 48 \&\text{nbsp};\text{km}/\text{h}\)

Bước 2: Tính vận tốc của xe máy

\(v_{\text{xe}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}} = 75 \% \times v_{\hat{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{o}}} = 0 , 75 \times 48 = 36 \&\text{nbsp};\text{km}/\text{h}\)

Bước 3: Tính thời gian xe máy đi quãng đường AB

\(t = \frac{\text{qu} \overset{\sim}{\text{a}} \text{ng}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}}{\text{v}ậ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{c}} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3} \approx 3 , 33 \&\text{nbsp};\text{gi}ờ\)

Kết quả:

Xe máy đi hết quãng đường AB trong khoảng 3 giờ 20 phút (vì 0,33 giờ ≈ 20 phút).

Tham khảo

1. Căn bậc hai của 81 là gì?

• Căn bậc hai của 81 là số mà khi bình phương lên bằng 81.
• Vì \(9^{2} = 81\), nên:

\(\sqrt{81} = 9\)

2. Căn bậc hai của 0 là gì?

• \(0^{2} = 0\), nên:

\(\sqrt{0} = 0\)

3. Vì sao -1 lại không có căn bậc hai?

• Căn bậc hai là phép toán tìm số thực dương mà bình phương lên bằng số đó.
• Với số âm như \(- 1\), không có số thực nào bình phương lên bằng \(- 1\) (vì \(x^{2} \geq 0\) với mọi số thực \(x\)).
• Nên trong tập số thực, \(\sqrt{- 1}\) không xác định.
• Tuy nhiên, trong tập số phức, người ta định nghĩa \(\sqrt{- 1} = i\) (đơn vị ảo).

Tham khảo

Câu 7:

Bài toán:
Giá bán 1 chiếc cặp sách là 450.000 đồng. Cửa hàng lãi 12,5% so với giá mua.
Hỏi giá mua 1 chiếc cặp sách là bao nhiêu?

Bước 1: Gọi \(x\) là giá mua 1 chiếc cặp sách.

Bước 2: Cửa hàng lãi 12,5% tức là giá bán bằng giá mua cộng thêm 12,5% giá mua, tức:

\(\text{Gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{n} = x + 12 , 5 \% \times x = x \times \left(\right. 1 + 0 , 125 \left.\right) = 1 , 125 x\)

Bước 3: Giá bán đã cho là 450.000 đồng, nên:

\(1 , 125 x = 450.000\)

Bước 4: Giải phương trình:

\(x = \frac{450.000}{1 , 125} = 400.000 \&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\)

Đáp số: Giá mua 1 chiếc cặp sách là 400.000 đồng.

Câu 8:

Bài toán:

• Thửa ruộng hình thang có đáy lớn \(= 150 \textrm{ } m\).
• Đáy bé bằng \(-\) đáy lớn (ý ở đây có thể là đáy bé nhỏ hơn đáy lớn một khoảng nào đó, mình đoán đề thiếu, mình sửa thành: Đáy bé bằng đáy lớn trừ một số, hoặc đáy bé bằng đáy lớn trừ 3 lần chiều cao).
• Đáy bé hơn đáy lớn 3 chiều cao 15m (ý là đáy bé = đáy lớn - 3 × chiều cao).
• Trung bình cứ 100 m² thu hoạch được 74,5 kg thóc.

Hãy tính số kg thóc thu hoạch được trên thửa ruộng đó.

Bước 1: Gọi chiều cao hình thang là \(h = 15\) m.

Theo đề:

\(đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˊ}{\text{e}} = đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}\&\text{nbsp};\text{l}ớ\text{n} - 3 \times h = 150 - 3 \times 15 = 150 - 45 = 105 \textrm{ } m\)

Bước 2: Tính diện tích thửa ruộng (diện tích hình thang):

\(S = \frac{\left(\right. đ \overset{ˊ}{a} y l ớ n + đ \overset{ˊ}{a} y b \overset{ˊ}{e} \left.\right)}{2} \times c h i \overset{ˋ}{\hat{e}} u c a o = \frac{150 + 105}{2} \times 15 = \frac{255}{2} \times 15 = 127 , 5 \times 15 = 1912 , 5 \textrm{ } m^{2}\)

Bước 3: Tính số kg thóc thu hoạch được trên diện tích 1912,5 m².

Trung bình 100 m² thu hoạch được 74,5 kg, vậy 1912,5 m² thu hoạch được:

\(\frac{74 , 5}{100} \times 1912 , 5 = 0 , 745 \times 1912 , 5 = 1423 , 81 \textrm{ } \text{kg}\)

Đáp số: Số thóc thu hoạch được khoảng 1423,81 kg.

Tham khảo

Cho bài toán:

Tìm các số nguyên \(a , b , c\) sao cho:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2024^{a} + 2025^{a}\)

Phân tích:

• Vế trái là tổng ba giá trị tuyệt đối, luôn không âm.
• Vế phải là tổng hai số mũ với cơ số lớn \(2024\) và \(2025\), lũy thừa \(a\).
• \(a , b , c \in \mathbb{Z}\) (số nguyên).

Bước 1: Bất đẳng thức về tổng các giá trị tuyệt đối

Ta có:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid \geq \mid a - c \mid\)

Do đó:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid \geq \mid a - c \mid + \mid c - a \mid = 2 \mid a - c \mid\)

Nhưng bên trái thực ra bằng:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2 \times (\text{kho}ả\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{l}ớ\text{n}\&\text{nbsp};\text{nh} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ\text{a}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp}; a , b , c )\)

Cụ thể, vì tổng ba giá trị tuyệt đối của 3 điểm trên trục số là gấp đôi độ dài đoạn thẳng lớn nhất giữa chúng.

Bước 2: Xét vế phải

• Nếu \(a < 0\), thì \(2024^{a}\) và \(2025^{a}\) là các số phân số rất nhỏ (dương) do số mũ âm.
• Nếu \(a = 0\), thì:

\(2024^{0} + 2025^{0} = 1 + 1 = 2\)

• Nếu \(a > 0\), thì \(2024^{a} + 2025^{a}\) là số rất lớn, nhanh tăng.

Bước 3: So sánh quy mô hai vế

• Vế trái là số nguyên không âm, ít nhất là 0.
• Vế phải là số dương (do lũy thừa dương), rất lớn nếu \(a > 0\).

Bước 4: Xét từng trường hợp

• Trường hợp \(a < 0\):

Vế phải là số nhỏ hơn 2 (do \(2024^{a} , 2025^{a} < 1\)), còn vế trái là số nguyên không âm (phải là số nguyên, vì \(a , b , c\) nguyên), nên vế trái ít nhất bằng 0. Rất khó bằng một số phân số nhỏ.

• Trường hợp \(a = 0\):

Vế phải là \(2\).

Vậy:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2\)

Vì \(a = 0\), thì \(a = 0\).

Ta cần tìm \(b , c\) nguyên sao cho:

\(\mid 0 - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - 0 \mid = 2\)

Cách này ta dễ kiểm tra.

• Gọi \(b = m\), \(c = n\).

Ta có:

\(\mid m \mid + \mid m - n \mid + \mid n \mid = 2\)

Bước 5: Tìm \(m , n\) nguyên thỏa mãn

Ta cần tổng ba giá trị tuyệt đối bằng 2.

• Các giá trị tuyệt đối là không âm, nên tổng ba số này bằng 2 nghĩa là tổng này khá nhỏ.

Thử các trường hợp:

• Nếu \(m = 0\), thì

\(0 + \mid 0 - n \mid + \mid n \mid = \mid n \mid + \mid n \mid = 2 \mid n \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid n \mid = 1\)

• Nếu \(m = 0 , n = \pm 1\) thì tổng đúng bằng 2.
• Nếu \(n = 0\), thì

\(\mid m \mid + \mid m - 0 \mid + 0 = \mid m \mid + \mid m \mid = 2 \mid m \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid m \mid = 1\)

• Nếu \(m = \pm 1 , n = 0\), cũng thỏa.
• Nếu \(m = n\), thì

\(\mid m \mid + 0 + \mid m \mid = 2 \mid m \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid m \mid = 1\)

Thí dụ: \(m = n = \pm 1\)

Bước 6: Tổng hợp nghiệm

Với \(a = 0\), \(b , c\) thỏa mãn:

\(\mid b \mid + \mid b - c \mid + \mid c \mid = 2\)

Các bộ nghiệm là:

• \(\left(\right. b , c \left.\right) = \left(\right. 0 , \pm 1 \left.\right) , \left(\right. \pm 1 , 0 \left.\right) , \left(\right. \pm 1 , \pm 1 \left.\right)\)

Bước 7: Trường hợp \(a > 0\)

Vế phải rất lớn, vế trái nhỏ nhất là 0 (khi \(a = b = c\)), nhưng không thể bằng một số rất lớn. Do đó, không thỏa.

Kết luận:

• Các số nguyên \(a , b , c\) thỏa mãn phương trình là:

\(a = 0\)

và

\(\mid b \mid + \mid b - c \mid + \mid c \mid = 2\)

Cụ thể các bộ \(\left(\right. b , c \left.\right)\) như trên.

Tham khảo