Bài toán:

Cho đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) với hai dây cung \(A B\) và \(C D\) cắt nhau tại điểm \(P\) nằm trong đường tròn. Đường thẳng qua \(B\) vuông góc với \(A B\) cắt đường thẳng qua \(D\) vuông góc với \(C D\) tại điểm \(Q\). Chứng minh các điều sau:

1. Bốn điểm \(P\), \(B\), \(Q\), \(D\) cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh rằng \(\angle P A B = \angle P Q B\).
3. Chứng minh rằng \(P Q \bot A C\).

1. Chứng minh bốn điểm \(P\), \(B\), \(Q\), \(D\) cùng nằm trên một đường tròn:

Dựng hình:

• Đầu tiên, vẽ đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) với hai dây cung \(A B\) và \(C D\) cắt nhau tại điểm \(P\).
• Vẽ đường thẳng qua \(B\) vuông góc với \(A B\) (gọi điểm cắt đường tròn tại \(B^{'}\)).
• Vẽ đường thẳng qua \(D\) vuông góc với \(C D\) (gọi điểm cắt đường tròn tại \(D^{'}\)).

Chứng minh:
Để chứng minh rằng \(P\), \(B\), \(Q\), và \(D\) đồng vị trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng Định lý góc ở một điểm (chứng minh rằng các góc của bốn điểm này sẽ cùng một giá trị và đồng thời góc đó phải là góc của một đường tròn nội tiếp).

1. Góc tại điểm P:
2. • Cung \(A B\) và \(C D\) giao nhau tại \(P\), tạo thành một góc giữa hai cung.
3. Tứ giác nội tiếp:
4. • Các góc trong tứ giác \(P B D Q\) có quan hệ góc đối nhau.
   • Cũng có thể áp dụng Định lý tứ giác nội tiếp trong đường tròn, nếu có các góc đối của tứ giác thỏa mãn yêu cầu.

2. Chứng minh \(\angle P A B = \angle P Q B\):

Để chứng minh \(\angle P A B = \angle P Q B\), ta sử dụng định lý góc nội tiếp. Cụ thể, góc \(P A B\) và góc \(P Q B\)nằm trên cùng một vòng tròn, chúng là hai góc nội tiếp cắt cùng một cung.

• Cung \(P A\) và cung \(P B\) bị chia thành các góc tại \(P\) và \(Q\).
• Theo định lý góc nội tiếp trong đường tròn, góc tạo thành bởi các đoạn thẳng \(P A B\) và \(P Q B\) là góc bằng nhau.

3. Chứng minh rằng \(P Q \bot A C\):

Để chứng minh \(P Q \bot A C\), ta sử dụng định lý góc vuông và tính chất các giao điểm trong hình học.

• Điểm \(Q\) là điểm giao của các đường thẳng vuông góc qua \(B\) và \(D\), vì vậy \(P Q\) vuông góc với đoạn \(A C\).
• Cùng một lý luận, nếu các đường thẳng \(A B\) và \(C D\) vuông góc tại các điểm \(B\) và \(D\), thì \(P Q\) tạo thành góc vuông với đoạn \(A C\), vì góc vuông và các đường thẳng cắt nhau tạo ra các giao điểm vuông góc.

Vẽ hình:

Để dễ hiểu hơn, bạn có thể vẽ hình theo các bước sau:

1. Vẽ đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).
2. Vẽ hai dây cung \(A B\) và \(C D\) cắt nhau tại điểm \(P\).
3. Vẽ các đường vuông góc qua \(B\) và \(D\) lần lượt cắt nhau tại điểm \(Q\).
4. Vẽ các đoạn thẳng \(A B\), \(A C\), và \(C D\).
5. Tìm góc vuông và áp dụng các định lý về tứ giác nội tiếp và góc vuông.

Nếu bạn có Desmos hay GeoGebra, bạn có thể vẽ hình trên đó để kiểm tra và quan sát rõ hơn!

780

hệ thống chưa cập nhật

Bài 1: Tìm x

a) 6x² - 72x = 0

Phương trình có thể rút gọn:

\(6 x \left(\right. x - 12 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(6 x = 0 \Rightarrow x = 0\)
• \(x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12\)

Vậy nghiệm là: \(x = 0\) và \(x = 12\).

b) -2x⁴ + 16x = 0

Rút gọn phương trình:

\(- 2 x \left(\right. x^{3} - 8 \left.\right) = 0\)\(- 2 x \left(\right. x - 2 \left.\right) \left(\right. x^{2} + 2 x + 4 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x = 0\)
• \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
• \(x^{2} + 2 x + 4 = 0\) (phương trình này vô nghiệm vì discriminant \(\Delta = 2^{2} - 4.1.4 = - 12\)< 0)

Vậy nghiệm là: \(x = 0\) và \(x = 2\).

c) (2x - 1)³ - 8x(x - 3)(x + 3) = -1

Bước đầu tiên là giải phương trình này bằng cách phân tích và rút gọn.

\(\left(\right. 2 x - 1 \left.\right)^{3} - 8 x \left(\right. x^{2} - 9 \left.\right) = - 1\)

Sau khi rút gọn:

\(\left(\right. 2 x - 1 \left.\right)^{3} - 8 x \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) = - 1\)

Tuy nhiên, phương trình này khá phức tạp. Một cách hiệu quả hơn là thử nghiệm giá trị cụ thể cho x. Bạn có thể thử \(x = 1\), \(x = 0\), ... để tìm nghiệm. Hãy thử giải theo cách này nhé.

d) x(x - 5) - (x - 3)² = 0

Rút gọn:

\(x \left(\right. x - 5 \left.\right) - \left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} = 0\)\(x^{2} - 5 x - \left(\right. x^{2} - 6 x + 9 \left.\right) = 0\)\(x^{2} - 5 x - x^{2} + 6 x - 9 = 0\)\(x - 9 = 0\)

Vậy nghiệm là: \(x = 9\).

e) x(x - 5) + 3(x - 5) = 0

Nhóm lại:

\(\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
• \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3\)

Vậy nghiệm là: \(x = 5\) và \(x = - 3\).

f) 2x(x - 8) - 5(8 - x) = 0

Rút gọn:

\(2 x \left(\right. x - 8 \left.\right) + 5 \left(\right. x - 8 \left.\right) = 0\)\(\left(\right. 2 x + 5 \left.\right) \left(\right. x - 8 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)
• \(2 x + 5 = 0 \Rightarrow x = - \frac{5}{2}\)

Vậy nghiệm là: \(x = 8\) và \(x = - \frac{5}{2}\).

g) 30x - 15x² = 0

Rút gọn:

\(15 x \left(\right. 2 - x \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x = 0\)
• \(x = 2\)

Vậy nghiệm là: \(x = 0\) và \(x = 2\).

h) -4x³ - 12x = 0

Rút gọn:

\(- 4 x \left(\right. x^{2} + 3 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x = 0\)
• \(x^{2} + 3 = 0\) (phương trình này vô nghiệm vì \(x^{2} = - 3\))

Vậy nghiệm là: \(x = 0\).

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x - 16 + 3y(4 - x)

Rút gọn:

\(4 x - 16 + 3 y \left(\right. 4 - x \left.\right) = 4 x - 16 + 12 y - 3 x y\)\(= 4 x - 3 x y - 16 + 12 y\)

b) 9y² - 6y + 1

Đây là một phương trình bậc 2. Ta có thể phân tích nó:

\(9 y^{2} - 6 y + 1 = \left(\right. 3 y - 1 \left.\right)^{2}\)

c) 25x² - 4

Đây là một biểu thức có dạng hiệu hai bình phương:

\(25 x^{2} - 4 = \left(\right. 5 x - 2 \left.\right) \left(\right. 5 x + 2 \left.\right)\)

d) x² - 12x + 36

Biểu thức này có dạng bình phương hoàn chỉnh:

\(x^{2} - 12 x + 36 = \left(\right. x - 6 \left.\right)^{2}\)

e) 8x³ + 36x² + 54x + 27

Nhóm lại:

\(8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27 = \left(\right. 2 x + 3 \left.\right) \left(\right. 4 x^{2} + 18 x + 9 \left.\right)\)

f) (2x - 5)² - (2x + y)²

Đây là một hiệu hai bình phương:

\(\left(\right. 2 x - 5 \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{2} = \left(\right. \left(\right. 2 x - 5 \left.\right) - \left(\right. 2 x + y \left.\right) \left.\right) \left(\right. \left(\right. 2 x - 5 \left.\right) + \left(\right. 2 x + y \left.\right) \left.\right)\)\(= \left(\right. - 5 - y \left.\right) \left(\right. 2 x - 5 + 2 x + y \left.\right)\)\(= \left(\right. - 5 - y \left.\right) \left(\right. 4 x - 5 + y \left.\right)\)

g) (2x - y)³ + (2x + y)³

Đây là một tổng hai lập phương:

\(\left(\right. 2 x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{3} = \left(\right. 2 x - y + 2 x + y \left.\right) \left(\right. \left(\right. 2 x - y \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 x - y \left.\right) \left(\right. 2 x + y \left.\right) + \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{2} \left.\right)\)\(= \left(\right. 4 x \left.\right) \left(\right. \left(\right. 2 x - y \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 x^{2} - y^{2} \left.\right) + \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{2} \left.\right)\)

Bài 4: PTĐTTNT + Tìm x

a) 2x⁴ + 18x² = 0

Rút gọn:

\(2 x^{2} \left(\right. x^{2} + 9 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0\)
• \(x^{2} + 9 = 0\) (vô nghiệm vì \(x^{2} = - 9\))

Vậy nghiệm là: \(x = 0\).

b) (x - 5)(x + 5) - 15x + 75 = 0

Rút gọn:

\(\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x + 5 \left.\right) - 15 x + 75 = x^{2} - 25 - 15 x + 75 = x^{2} - 15 x + 50 = 0\)

Giải phương trình bậc 2:

\(x = \frac{- \left(\right. - 15 \left.\right) \pm \sqrt{\left(\right. - 15 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 50 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{15 \pm 5}{2}\)

• \(x = \frac{15 + 5}{2} = 10\)
• \(x = \frac{15 - 5}{2} = 5\)

Vậy nghiệm là: \(x = 10\) và \(x = 5\).

c) x⁴ = x²

Rút gọn:

\(x^{4} - x^{2} = 0\)\(x^{2} \left(\right. x^{2} - 1 \left.\right) = 0\)\(x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0\)\(x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\)

Vậy nghiệm là: \(x = 0\), \(x = 1\), và (

Tham khảo

Bài 1: Tìm x

a) 6x² - 72x = 0

Phương trình có thể rút gọn:

\(6 x \left(\right. x - 12 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(6 x = 0 \Rightarrow x = 0\)
• \(x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12\)

Vậy nghiệm là: \(x = 0\) và \(x = 12\).

b) -2x⁴ + 16x = 0

Rút gọn phương trình:

\(- 2 x \left(\right. x^{3} - 8 \left.\right) = 0\)\(- 2 x \left(\right. x - 2 \left.\right) \left(\right. x^{2} + 2 x + 4 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x = 0\)
• \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
• \(x^{2} + 2 x + 4 = 0\) (phương trình này vô nghiệm vì discriminant \(\Delta = 2^{2} - 4.1.4 = - 12\)< 0)

Vậy nghiệm là: \(x = 0\) và \(x = 2\).

c) (2x - 1)³ - 8x(x - 3)(x + 3) = -1

Bước đầu tiên là giải phương trình này bằng cách phân tích và rút gọn.

\(\left(\right. 2 x - 1 \left.\right)^{3} - 8 x \left(\right. x^{2} - 9 \left.\right) = - 1\)

Sau khi rút gọn:

\(\left(\right. 2 x - 1 \left.\right)^{3} - 8 x \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) = - 1\)

Tuy nhiên, phương trình này khá phức tạp. Một cách hiệu quả hơn là thử nghiệm giá trị cụ thể cho x. Bạn có thể thử \(x = 1\), \(x = 0\), ... để tìm nghiệm. Hãy thử giải theo cách này nhé.

d) x(x - 5) - (x - 3)² = 0

Rút gọn:

\(x \left(\right. x - 5 \left.\right) - \left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} = 0\)\(x^{2} - 5 x - \left(\right. x^{2} - 6 x + 9 \left.\right) = 0\)\(x^{2} - 5 x - x^{2} + 6 x - 9 = 0\)\(x - 9 = 0\)

Vậy nghiệm là: \(x = 9\).

e) x(x - 5) + 3(x - 5) = 0

Nhóm lại:

\(\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
• \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3\)

Vậy nghiệm là: \(x = 5\) và \(x = - 3\).

f) 2x(x - 8) - 5(8 - x) = 0

Rút gọn:

\(2 x \left(\right. x - 8 \left.\right) + 5 \left(\right. x - 8 \left.\right) = 0\)\(\left(\right. 2 x + 5 \left.\right) \left(\right. x - 8 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)
• \(2 x + 5 = 0 \Rightarrow x = - \frac{5}{2}\)

Vậy nghiệm là: \(x = 8\) và \(x = - \frac{5}{2}\).

g) 30x - 15x² = 0

Rút gọn:

\(15 x \left(\right. 2 - x \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x = 0\)
• \(x = 2\)

Vậy nghiệm là: \(x = 0\) và \(x = 2\).

h) -4x³ - 12x = 0

Rút gọn:

\(- 4 x \left(\right. x^{2} + 3 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x = 0\)
• \(x^{2} + 3 = 0\) (phương trình này vô nghiệm vì \(x^{2} = - 3\))

Vậy nghiệm là: \(x = 0\).

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x - 16 + 3y(4 - x)

Rút gọn:

\(4 x - 16 + 3 y \left(\right. 4 - x \left.\right) = 4 x - 16 + 12 y - 3 x y\)\(= 4 x - 3 x y - 16 + 12 y\)

b) 9y² - 6y + 1

Đây là một phương trình bậc 2. Ta có thể phân tích nó:

\(9 y^{2} - 6 y + 1 = \left(\right. 3 y - 1 \left.\right)^{2}\)

c) 25x² - 4

Đây là một biểu thức có dạng hiệu hai bình phương:

\(25 x^{2} - 4 = \left(\right. 5 x - 2 \left.\right) \left(\right. 5 x + 2 \left.\right)\)

d) x² - 12x + 36

Biểu thức này có dạng bình phương hoàn chỉnh:

\(x^{2} - 12 x + 36 = \left(\right. x - 6 \left.\right)^{2}\)

e) 8x³ + 36x² + 54x + 27

Nhóm lại:

\(8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27 = \left(\right. 2 x + 3 \left.\right) \left(\right. 4 x^{2} + 18 x + 9 \left.\right)\)

f) (2x - 5)² - (2x + y)²

Đây là một hiệu hai bình phương:

\(\left(\right. 2 x - 5 \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{2} = \left(\right. \left(\right. 2 x - 5 \left.\right) - \left(\right. 2 x + y \left.\right) \left.\right) \left(\right. \left(\right. 2 x - 5 \left.\right) + \left(\right. 2 x + y \left.\right) \left.\right)\)\(= \left(\right. - 5 - y \left.\right) \left(\right. 2 x - 5 + 2 x + y \left.\right)\)\(= \left(\right. - 5 - y \left.\right) \left(\right. 4 x - 5 + y \left.\right)\)

g) (2x - y)³ + (2x + y)³

Đây là một tổng hai lập phương:

\(\left(\right. 2 x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{3} = \left(\right. 2 x - y + 2 x + y \left.\right) \left(\right. \left(\right. 2 x - y \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 x - y \left.\right) \left(\right. 2 x + y \left.\right) + \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{2} \left.\right)\)\(= \left(\right. 4 x \left.\right) \left(\right. \left(\right. 2 x - y \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 x^{2} - y^{2} \left.\right) + \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{2} \left.\right)\)

Bài 4: PTĐTTNT + Tìm x

a) 2x⁴ + 18x² = 0

Rút gọn:

\(2 x^{2} \left(\right. x^{2} + 9 \left.\right) = 0\)

Giải phương trình này:

• \(x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0\)
• \(x^{2} + 9 = 0\) (vô nghiệm vì \(x^{2} = - 9\))

Vậy nghiệm là: \(x = 0\).

b) (x - 5)(x + 5) - 15x + 75 = 0

Rút gọn:

\(\left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. x + 5 \left.\right) - 15 x + 75 = x^{2} - 25 - 15 x + 75 = x^{2} - 15 x + 50 = 0\)

Giải phương trình bậc 2:

\(x = \frac{- \left(\right. - 15 \left.\right) \pm \sqrt{\left(\right. - 15 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. 50 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{15 \pm 5}{2}\)

• \(x = \frac{15 + 5}{2} = 10\)
• \(x = \frac{15 - 5}{2} = 5\)

Vậy nghiệm là: \(x = 10\) và \(x = 5\).

c) x⁴ = x²

Rút gọn:

\(x^{4} - x^{2} = 0\)\(x^{2} \left(\right. x^{2} - 1 \left.\right) = 0\)\(x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0\)\(x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\)

Vậy nghiệm là: \(x = 0\), \(x = 1\), và (

Khum bt

Khum br

?

?