Tham khảo

Để chứng minh bất đẳng thức:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

với \(a , b , c > 0\), ta sẽ sử dụng các phương pháp như bất đẳng thức \(A M - G M\) hoặc khai triển các biểu thức và đối chiếu các vế.

Bước 1: Mở rộng vế phải

Trước tiên, ta mở rộng vế phải của bất đẳng thức:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Khai triển từng phần:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) = a^{2} b + a b^{2}\)\(b c \left(\right. b + c \left.\right) = b^{2} c + b c^{2}\)\(c a \left(\right. c + a \left.\right) = c^{2} a + c a^{2}\)

Vậy vế phải của bất đẳng thức trở thành:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right) = a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + c^{2} a + c a^{2}\)

Bước 2: So sánh với vế trái

Tiếp theo, ta có vế trái là:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)\)

Như vậy, ta cần chứng minh:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + c^{2} a + c a^{2}\)

Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức \(A M - G M\) (trung bình cộng - trung bình nhân) cho ta kết quả sau với các số dương:

\(\frac{a^{3} + a^{3} + b^{3}}{3} \geq a b \text{ho}ặ\text{c} a^{3} + b^{3} \geq 3 a b\)

Áp dụng tương tự cho các cặp khác nhau, ta có:

\(a^{3} + b^{3} \geq 3 a b , b^{3} + c^{3} \geq 3 b c , c^{3} + a^{3} \geq 3 c a\)

Bây giờ, cộng tất cả các bất đẳng thức trên:

\(\left(\right. a^{3} + b^{3} \left.\right) + \left(\right. b^{3} + c^{3} \left.\right) + \left(\right. c^{3} + a^{3} \left.\right) \geq 3 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Hay:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq 3 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Bước 4: Kết luận

Vậy ta có:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.

Kết luận:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Vậy, với \(a , b , c > 0\), bất đẳng thức trên là đúng.

Tham khảo

Chúng ta sẽ giải từng câu một nhé:

a) \(\frac{15}{56} - \frac{6}{7}\)

Để trừ các phân số, trước tiên ta phải quy đồng mẫu số. Mẫu số của \(\frac{6}{7}\) là 7, trong khi mẫu số của \(\frac{15}{56}\) là 56. Ta cần quy đồng mẫu số của 7 và 56.

Mẫu số chung nhỏ nhất của 7 và 56 là 56. Ta chuyển \(\frac{6}{7}\) về mẫu số 56:

\(\frac{6}{7} = \frac{6 \times 8}{7 \times 8} = \frac{48}{56}\)

Bây giờ ta thực hiện phép trừ:

\(\frac{15}{56} - \frac{48}{56} = \frac{15 - 48}{56} = \frac{- 33}{56}\)

Kết quả: \(\frac{- 33}{56}\)

b) \(\frac{4}{9} - \frac{5}{7}\)

Tương tự, ta sẽ quy đồng mẫu số của \(\frac{4}{9}\) và \(\frac{5}{7}\). Mẫu số của 9 và 7 là 63 (vì \(9 \times 7 = 63\)).

Chuyển các phân số về mẫu số chung 63:

\(\frac{4}{9} = \frac{4 \times 7}{9 \times 7} = \frac{28}{63}\)\(\frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63}\)

Bây giờ ta thực hiện phép trừ:

\(\frac{28}{63} - \frac{45}{63} = \frac{28 - 45}{63} = \frac{- 17}{63}\)

Kết quả: \(\frac{- 17}{63}\)

d) \(\frac{6}{5} \times 3\)

Để nhân phân số với một số tự nhiên, ta viết 3 dưới dạng phân số \(\frac{3}{1}\) và thực hiện phép nhân:

\(\frac{6}{5} \times 3 = \frac{6}{5} \times \frac{3}{1} = \frac{6 \times 3}{5 \times 1} = \frac{18}{5}\)

Kết quả: \(\frac{18}{5}\)

Tóm tắt kết quả:

• a) \(\frac{15}{56} - \frac{6}{7} = \frac{- 33}{56}\)
• b) \(\frac{4}{9} - \frac{5}{7} = \frac{- 17}{63}\)
• d) \(\frac{6}{5} \times 3 = \frac{18}{5}\)

Tham khảo

Bài toán:

Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 32m. Nếu bớt chiều dài 14m, mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính diện tích mảnh vườn.

Bước 1: Chu vi của mảnh vườn

Mảnh vườn là hình chữ nhật, và chu vi của hình chữ nhật được tính theo công thức:

\(\text{Chu}\&\text{nbsp};\text{vi} = 2 \times \left(\right. \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i} + \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng} \left.\right)\)

Ta biết chu vi mảnh vườn là 32m, nên ta có:

\(32 = 2 \times \left(\right. l + w \left.\right)\)

Ở đây, \(l\) là chiều dài và \(w\) là chiều rộng của mảnh vườn. Để tìm tổng chiều dài và chiều rộng, ta chia chu vi cho 2:

\(l + w = \frac{32}{2} = 16\)

Vậy chiều dài cộng chiều rộng của mảnh vườn là 16m.

Bước 2: Mảnh vườn trở thành hình vuông

Khi bớt chiều dài 14m, mảnh vườn trở thành hình vuông. Điều này có nghĩa là sau khi bớt chiều dài 14m, chiều dài mới bằng chiều rộng của mảnh vườn.

Vậy ta có phương trình:

\(l - 14 = w\)

Bước 3: Giải phương trình

Bây giờ, ta có hệ phương trình:

1. \(l + w = 16\)
2. \(l - 14 = w\)

Từ phương trình (2), ta thay \(w\) vào phương trình (1):

\(l + \left(\right. l - 14 \left.\right) = 16\)\(2 l - 14 = 16\)\(2 l = 16 + 14\)\(2 l = 30\)\(l = \frac{30}{2} = 15\)

Vậy chiều dài \(l\) là 15m.

Bước 4: Tính chiều rộng

Ta đã có \(l = 15\), bây giờ thay vào phương trình \(l + w = 16\):

\(15 + w = 16\)\(w = 16 - 15 = 1\)

Vậy chiều rộng \(w\) là 1m.

Bước 5: Tính diện tích mảnh vườn

Diện tích của mảnh vườn là:

\(\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = l \times w = 15 \times 1 = 15 \textrm{ } \text{m}^{2}\)

Kết luận:

Diện tích mảnh vườn là 15 m².