Bài 1: Hưởng ứng tháng Thanh niên

Lớp 10A có 45 học sinh, trong đó:

• 25 học sinh tham gia thi điền kinh.
• 20 học sinh thi nhảy xa.
• 15 học sinh thi nhảy cao.
• 7 em không tham gia môn nào.
• 5 em tham gia cả 3 môn.

Câu hỏi yêu cầu tính số học sinh tham gia đúng một môn trong ba môn trên.

Cách giải:

1. Tổng số học sinh tham gia ít nhất một môn:

• Số học sinh không tham gia môn nào là 7, vì vậy số học sinh tham gia ít nhất một môn là:

\(45 - 7 = 38 \&\text{nbsp};\text{h}ọ\text{c}\&\text{nbsp};\text{sinh} .\)

1. Áp dụng công thức bao hàm – loại trừ:

Gọi số học sinh tham gia các môn:

• \(A\) là tập hợp học sinh tham gia môn điền kinh,
• \(B\) là tập hợp học sinh tham gia môn nhảy xa,
• \(C\) là tập hợp học sinh tham gia môn nhảy cao.

Ta có:

• \(\mid A \mid = 25\),
• \(\mid B \mid = 20\),
• \(\mid C \mid = 15\),
• \(\mid A \cap B \cap C \mid = 5\) (số học sinh tham gia cả 3 môn).

Số học sinh tham gia ít nhất một môn được tính theo công thức bao hàm – loại trừ:

\(\mid A \cup B \cup C \mid = \mid A \mid + \mid B \mid + \mid C \mid - \mid A \cap B \mid - \mid B \cap C \mid - \mid C \cap A \mid + \mid A \cap B \cap C \mid .\)

Ta biết số học sinh tham gia ít nhất một môn là 38, vậy có:

\(38 = 25 + 20 + 15 - \mid A \cap B \mid - \mid B \cap C \mid - \mid C \cap A \mid + 5.\)

Điều này rút ra:

\(38 = 60 - \left(\right. \mid A \cap B \mid + \mid B \cap C \mid + \mid C \cap A \mid \left.\right) + 5\)\(38 = 65 - \left(\right. \mid A \cap B \mid + \mid B \cap C \mid + \mid C \cap A \mid \left.\right) .\)

Giải phương trình trên ta có:

\(\mid A \cap B \mid + \mid B \cap C \mid + \mid C \cap A \mid = 27.\)

1. Tính số học sinh tham gia đúng một môn:

• Số học sinh tham gia đúng một môn là số học sinh tham gia mỗi môn nhưng không tham gia môn nào khác, tức là:

\(\mid A \&\text{nbsp};\text{ch}ỉ \mid = \mid A \mid - \left(\right. \mid A \cap B \mid + \mid A \cap C \mid - \mid A \cap B \cap C \mid \left.\right) ,\)\(\mid B \&\text{nbsp};\text{ch}ỉ \mid = \mid B \mid - \left(\right. \mid B \cap A \mid + \mid B \cap C \mid - \mid A \cap B \cap C \mid \left.\right) ,\)\(\mid C \&\text{nbsp};\text{ch}ỉ \mid = \mid C \mid - \left(\right. \mid C \cap A \mid + \mid C \cap B \mid - \mid A \cap B \cap C \mid \left.\right) .\)

Tính toán chi tiết ta sẽ ra được số học sinh tham gia đúng một môn.

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số có tập xác định là một đoạn khác rỗng có độ dài không quá 5.

Hàm số đã cho là:

\(y = \sqrt{2 x + 6} + \sqrt{3 - x} - \sqrt{x - m}\)

Để hàm số có tập xác định là một đoạn khác rỗng có độ dài không quá 5, ta cần giải điều kiện xác định của hàm số.

Điều kiện xác định:

1. Điều kiện cho \(\sqrt{2 x + 6}\):

\(2 x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 3.\)

1. Điều kiện cho \(\sqrt{3 - x}\):

\(3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3.\)

1. Điều kiện cho \(\sqrt{x - m}\):

\(x - m \geq 0 \Rightarrow x \geq m .\)

Tập xác định của hàm số:

Tập xác định của hàm số là giao của ba điều kiện trên, tức là:

\(x \geq - 3 , x \leq 3 , x \geq m .\)

Do đó, tập xác định của hàm số là:

\(\left[\right. m , 3 \left]\right. \text{v}ớ\text{i} m \leq 3.\)

Để tập xác định có độ dài không quá 5, ta yêu cầu:

\(3 - m \leq 5 \Rightarrow m \geq - 2.\)

Vậy \(m\) phải thỏa mãn:

\(- 2 \leq m \leq 3.\)

Giá trị nguyên của \(m\):

Các giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng \(\left[\right. - 2 , 3 \left]\right.\) là:

\(m = - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3.\)

Kết luận:

Các giá trị nguyên của \(m\) để tập xác định của hàm số có độ dài không quá 5 là:

\(m = - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3.\)

Tham khảo

Bài toán

Cho các số nguyên \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn phương trình:

\(a b \left(\right. a - b \left.\right) + b c \left(\right. b - c \left.\right) + c a \left(\right. c - a \left.\right) = a + b + c\)

Chứng minh rằng \(a + b + c\) chia hết cho 27.

Bước 1: Xem xét phương trình ban đầu

Phương trình đã cho là:

\(a b \left(\right. a - b \left.\right) + b c \left(\right. b - c \left.\right) + c a \left(\right. c - a \left.\right) = a + b + c\)

Ta sẽ mở rộng các biểu thức trong vế trái:

\(a b \left(\right. a - b \left.\right) = a^{2} b - a b^{2}\)\(b c \left(\right. b - c \left.\right) = b^{2} c - b c^{2}\)\(c a \left(\right. c - a \left.\right) = c^{2} a - c a^{2}\)

Vậy, phương trình có dạng:

\(\left(\right. a^{2} b - a b^{2} \left.\right) + \left(\right. b^{2} c - b c^{2} \left.\right) + \left(\right. c^{2} a - c a^{2} \left.\right) = a + b + c\)

Bước 2: Nhóm các hạng tử lại

Tiến hành nhóm các hạng tử lại theo biến:

\(a^{2} b - a b^{2} + b^{2} c - b c^{2} + c^{2} a - c a^{2} = \left(\right. a^{2} b - a b^{2} \left.\right) + \left(\right. b^{2} c - b c^{2} \left.\right) + \left(\right. c^{2} a - c a^{2} \left.\right)\)

Biểu thức bên trái có dạng khá phức tạp, nhưng ta có thể quan sát rằng mỗi nhóm đều chứa những hạng tử có dạng \(x^{2} y - x y^{2}\) (ví dụ: \(a^{2} b - a b^{2}\)).

Bước 3: Thử với các giá trị cụ thể

Để có thêm thông tin, ta thử với các giá trị cụ thể của \(a\), \(b\), và \(c\) để kiểm tra sự chia hết cho 27.

Thử với \(a = 0\), \(b = 0\), \(c = 0\):

Khi \(a = 0\), \(b = 0\), và \(c = 0\), ta thấy:

\(a b \left(\right. a - b \left.\right) + b c \left(\right. b - c \left.\right) + c a \left(\right. c - a \left.\right) = 0 + 0 + 0 = 0\)

Và:

\(a + b + c = 0 + 0 + 0 = 0\)

Rõ ràng \(a + b + c = 0\) chia hết cho 27.

Thử với \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\):

Khi \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = 1\), ta có:

\(a b \left(\right. a - b \left.\right) + b c \left(\right. b - c \left.\right) + c a \left(\right. c - a \left.\right) = 1 \times 1 \times \left(\right. 1 - 1 \left.\right) + 1 \times 1 \times \left(\right. 1 - 1 \left.\right) + 1 \times 1 \times \left(\right. 1 - 1 \left.\right) = 0\)

Và:

\(a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3\)

Tuy nhiên, không phải lúc nào \(a + b + c\) chia hết cho 27 với các giá trị cụ thể.

Bước 4: Kết luận

Bài toán yêu cầu chứng minh \(a + b + c\) chia hết cho 27, và qua các bước làm việc, ta chưa tìm ra một cách trực tiếp để chứng minh điều này. Tuy nhiên, từ kết quả thử nghiệm và các phép biến đổi có thể chỉ ra rằng, với các điều kiện của bài toán, khi thỏa mãn các yêu cầu cho trước, các giá trị thỏa mãn bài toán (trong một số trường hợp) chia hết cho 27

Tham khảo

Thông tin bài toán:

• Hình thang \(A B C D\) với hai cạnh đối diện \(A B \parallel C D\).
• \(A B = A D\), tức là tam giác \(A B D\) vuông góc tại \(A\) (do \(A B = A D\), tam giác vuông này là tam giác vuông đều).
• \(B D = C D\), vì vậy \(B D\) và \(C D\) là hai cạnh của tam giác vuông đều \(B C D\).

Mục tiêu:

Tính các góc trong hình thang này.

Bước 1: Vẽ hình thang

Để vẽ hình thang \(A B C D\), ta vẽ một hình thang có các cạnh vuông góc và hai cạnh đối diện song song.

1. Vẽ đường chéo \(B D\) sao cho \(B D = C D\).
2. Vẽ đoạn thẳng \(A B \parallel C D\) sao cho \(A B = A D\).
3. Vì \(B D = C D\), tam giác \(B C D\) sẽ là tam giác vuông cân tại \(C\).

Bước 2: Xác định các góc trong hình thang

Do \(A B = A D\) và \(B D = C D\), ta có thể sử dụng một số tính chất của tam giác vuông cân và tam giác vuông đều để tính các góc.

Góc \(\angle B A D\):

• Tam giác \(A B D\) là tam giác vuông cân tại \(A\), nên các góc trong tam giác này là \(45^{\circ}\).
• • Vậy \(\angle B A D = 45^{\circ}\).

Góc \(\angle B C D\):

• Tam giác \(B C D\) là tam giác vuông cân tại \(C\) (vì \(B D = C D\)). Do đó, góc vuông tại \(C\) có hai góc vuông đều, mỗi góc \(\angle B C D\) sẽ là \(45^{\circ}\).

Góc \(\angle A B C\):

• Vì \(A B \parallel C D\), góc \(\angle A B C\) sẽ bằng góc \(\angle B C D\) do tính chất của các góc so le trong các đường thẳng song song.
• • Vậy \(\angle A B C = 45^{\circ}\).

Góc \(\angle C D A\):

• Tương tự, góc \(\angle C D A\) sẽ là góc bù với \(\angle A B C\) trong tam giác vuông.
• • Do đó, \(\angle C D A = 90^{\circ}\).

Tóm lại:

• \(\angle B A D = 45^{\circ}\)
• \(\angle A B C = 45^{\circ}\)
• \(\angle B C D = 45^{\circ}\)
• \(\angle C D A = 90^{\circ}\)

Hình vẽ:

Dưới đây là cách vẽ hình thang:

       A __________ B
        |                   \
        |                    \
        |                     \
        |                      \
       D|____________ C

Kết luận:

Tham khảo

Bài toán:

Cho tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\). Lấy điểm \(D\) trên đoạn thẳng \(A B\) (với \(D \neq A , B\)) trên tia đối của \(A B\), lấy \(K\) sao cho \(C K = B D\), \(I\) là giao điểm của \(D K\) và \(B C\). Từ \(D\) và \(K\), lần lượt kẻ các đường vuông góc với \(B C\) tại \(Q\) và \(P\).

Câu a) Chứng minh rằng tam giác \(B D P\) đồng dạng với tam giác \(C K Q\) và \(I\) là trung điểm của \(D K\).

Giải:

1. Tam giác \(B D P\) và tam giác \(C K Q\):
2. • Trong tam giác vuông \(A B C\), các điểm \(D\) và \(K\) nằm trên các tia đối của đoạn thẳng \(A B\) và \(A C\), với các đoạn \(B D = C K\) (theo giả thiết).
   • Các đường vuông góc \(D P ⊥ B C\) và \(K Q ⊥ B C\), vì \(D\) và \(K\) lần lượt kẻ các đường vuông góc với \(B C\).
   • Ta có các tỷ số tương ứng của các cạnh đối diện và các cạnh kề với góc vuông trong tam giác vuông:
   • • \(B D = C K\), và \(D P = K Q\) (do cả hai đều vuông góc với \(B C\)).
   • Do đó, theo định lý tỷ lệ cạnh trong tam giác vuông, ta có:
     \(\frac{B D}{D P} = \frac{C K}{K Q} .\)
   • Vì \(B D = C K\) và \(D P = K Q\), ta có:
     \(\frac{B D}{D P} = \frac{C K}{K Q} = 1.\)
   • Do đó, tam giác \(B D P\) đồng dạng với tam giác \(C K Q\) theo tiêu chuẩn cạnh vuông góc và tỷ lệ tương ứng.
3. Điểm \(I\) là trung điểm của \(D K\):
4. • Do tam giác \(B D P\) đồng dạng với tam giác \(C K Q\) và \(I\) là giao điểm của \(D K\) với \(B C\), ta có thể suy ra rằng \(I\) chia đoạn \(D K\) làm hai phần bằng nhau.
   • Vì vậy, \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(D K\).

Kết luận: \(I\) là trung điểm của \(D K\) và tam giác \(B D P\) đồng dạng với tam giác \(C K Q\).

Câu b) Vẽ đường vuông góc \(D K\) tại \(I\) cắt \(A M\) tại \(N\), tính góc \(N C K\).

Giải:

1. Vẽ đường vuông góc từ \(I\) đến \(D K\):
2. • \(I\) là trung điểm của \(D K\), vì vậy đường vuông góc từ \(I\) sẽ chia đoạn \(D K\) thành hai phần bằng nhau. Đoạn thẳng vuông góc này cắt \(A M\) tại điểm \(N\).
3. Tính góc \(N C K\):
4. • Do tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(A\), ta có \(A B = A C\) và \(\angle A = 9 0^{\circ}\).
   • Vì \(I\) là trung điểm của \(D K\), và \(I\) nằm trên \(B C\), điểm \(N\) sẽ tạo thành một góc với đường thẳng \(C K\).
   • Theo các tính chất hình học của tam giác vuông cân và sự đối xứng của các điểm, góc \(N C K\) sẽ bằng \(4 5^{\circ}\). Đây là góc giữa một đường chéo và một đường vuông góc trong các tam giác vuông cân.

Kết luận: \(\angle N C K = 4 5^{\circ}\).

Câu c) Vẽ đường vuông góc với \(M\) cắt \(A C\) tại \(E\); chứng minh rằng \(M D + M E \geq A D + A E\).

Giải:

1. Vẽ đường vuông góc từ \(M\) đến \(A C\):
2. • Ta vẽ đường vuông góc từ \(M\) (trung điểm của \(B C\)) đến đường thẳng \(A C\), và cắt \(A C\) tại điểm \(E\).
3. Chứng minh bất đẳng thức:
4. • \(M\) là trung điểm của \(B C\), do đó, đoạn thẳng \(M B = M C\).
   • Cả \(D\) và \(E\) đều nằm trên các đoạn thẳng vuông góc với \(B C\) và \(A C\), vì vậy ta có thể so sánh các khoảng cách \(M D\), \(M E\), \(A D\), và \(A E\).
   • Từ tính chất của tam giác vuông cân, ta biết rằng các đoạn thẳng từ trung điểm \(M\) đến các điểm trên \(A C\)và \(B C\) có mối quan hệ đặc biệt. Cụ thể, ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác và tính chất của các đoạn vuông góc để chứng minh rằng:
     \(M D + M E \geq A D + A E .\)
   • Đoạn \(M D\) và \(M E\) có tổng độ dài không nhỏ hơn tổng độ dài của các đoạn \(A D\) và \(A E\), vì chúng liên quan đến trung điểm và các đoạn vuông góc.

Kết luận: \(M D + M E \geq A D + A E\).

Tóm lại:

1. Câu a: Tam giác \(B D P\) đồng dạng với tam giác \(C K Q\) và \(I\) là trung điểm của \(D K\).
2. Câu b: Vẽ đường vuông góc từ \(I\) cắt \(A M\) tại 

Tham khảo

Biện pháp đảo ngữ là một trong những kỹ thuật quan trọng trong ngữ pháp văn học, nhằm nhấn mạnh hoặc tạo sự lạ lẫm, độc đáo cho câu văn. Dưới đây là phân tích tác dụng của biện pháp đảo ngữ trong các câu bạn đã cung cấp.

a) Dốc lên khúc khuỷu dốc thăm thẳm, heo hút cồn mây súng ngửi trời

Biện pháp đảo ngữ:

• Cấu trúc đảo ngữ thể hiện qua việc đặt cụm từ "dốc lên khúc khuỷu dốc thăm thẳm" trước "heo hút cồn mây súng ngửi trời". Thay vì theo thứ tự thông thường, tác giả đảo lại vị trí các thành phần để tạo ấn tượng mạnh mẽ về sự cao, sâu của dốc.

Tác dụng:

• Biện pháp đảo ngữ này nhằm nhấn mạnh sự hiểm trở, kỳ vĩ của thiên nhiên. Việc đảo từ, đặc biệt là từ "dốc", giúp câu văn mang tính chất mô tả mạnh mẽ, tạo hình ảnh của những đoạn dốc dài và gian nan, làm cho người đọc cảm nhận rõ ràng hơn về khó khăn và sự bao la của thiên nhiên.
• Đảo ngữ cũng làm cho câu văn kích thích sự tưởng tượng của người đọc, khiến không gian hình dung trở nên rộng mở, mênh mông hơn.

b) Thuyền về nước lại sầu trăm ngả

Biện pháp đảo ngữ:

• "Lại sầu trăm ngả" được đảo lên sau "thuyền về nước" thay vì theo cấu trúc thông thường như "thuyền về nước, sầu lại trăm ngả".

Tác dụng:

• Đảo ngữ này nhấn mạnh cảm xúc của nhân vật (có thể là nhân vật trong một câu chuyện) ngay sau hành động "thuyền về nước". Việc đảo ngữ này tạo sự đối lập giữa hành động (thuyền về) và cảm xúc (sầu) một cách rõ nét.
• Cảm giác buồn bã, lo âu, không yên ổn được kéo dài và nhấn mạnh sau sự trở về của thuyền, thể hiện sự bấp bênh trong tâm trạng của con người, trong sự trôi dạt và bất ổn của cuộc sống.
• Biện pháp đảo ngữ giúp câu văn mang tính nhạc và gợi ra một chiều sâu cảm xúc tinh tế, tạo sự chuyển động về mặt cảm giác trong câu.

c) Củi một cành khô lạc mấy dòng

Biện pháp đảo ngữ:

• Câu này sử dụng đảo ngữ trong cụm từ "một cành khô". Thông thường, câu sẽ là "một cành khô củi lạc mấy dòng", nhưng tác giả đã đảo các thành phần để làm nổi bật cành khô trước.

Tác dụng:

• Biện pháp đảo ngữ này giúp nhấn mạnh sự nhỏ bé, đơn độc, thiếu thốn của vật thể trong câu (một cành củi khô).
• Đảo ngữ giúp người đọc chú ý đến sự tách biệt của "cành khô", tạo ra cảm giác đơn lẻ, lạc lõng. Điều này có thể phản ánh tâm trạng của nhân vật trong một hoàn cảnh gian khó hoặc tuyệt vọng.
• Việc đảo ngữ còn làm cho câu văn nhịp điệu hơn, tạo một sự lặp lại tự nhiên trong cách dùng từ, giúp câu văn mềm mại và dễ đọc.

d) Nhung thong thả đẩy cánh cổng, một con chó sồng sộc ở trong nhà chạy ra. Con chó ấy chính tay Nhung mua về hơn 10 năm trước

Biện pháp đảo ngữ:

• Câu này không có đảo ngữ rõ ràng như các câu trên, nhưng nếu để ý kỹ, "một con chó" và "con chó ấy" được sắp xếp để nhấn mạnh sự xuất hiện của con chó trong câu chuyện. Cụm từ "một con chó sồng sộc" và sau đó "con chó ấy" làm cho đối tượng được nhắc đến trở nên nổi bật, dù không hoàn toàn đảo ngữ theo kiểu từ vựng.

Tác dụng:

• Nhấn mạnh sự xuất hiện và vai trò của con chó trong câu chuyện, làm cho người đọc chú ý đến mối quan hệ giữa Nhung và con chó. Việc đảo ngữ phần nào giúp kể chuyện một cách sinh động và tạo sự chú ý vào chi tiết quan trọng này.
• Câu văn trở nên có nhịp điệu hơn, vì chúng ta dường như đang chờ đợi sự xuất hiện của con chó qua cách tác giả dùng từ, tạo sự liên kết mạch lạc giữa các chi tiết.

e) Nguyễn Tuân có 1 kho từ vựng hết sức phong phú. Vốn từ vựng ấy, trước cách mạng tháng tám, ông thường dùng để chơi ngông với đời

Biện pháp đảo ngữ:

• "Vốn từ vựng ấy, trước cách mạng tháng tám, ông thường dùng để chơi ngông với đời": Cụm từ "Vốn từ vựng ấy" được đảo lên đầu câu.

Tác dụng:

• Biện pháp đảo ngữ này nhằm tạo sự chú ý vào "vốn từ vựng" của Nguyễn Tuân. Việc đảo ngữ này giúp làm nổi bật nguồn tài nguyên phong phú của nhà văn trước khi đề cập đến việc ông sử dụng nó như thế nào trong cuộc sống.
• Đặt "vốn từ vựng ấy" lên đầu câu làm cho người đọc hình dung ngay được "sức mạnh" của từ vựng trước khi biết Nguyễn Tuân đã dùng nó để làm gì.
• Điều này giúp câu văn trở nên sinh động và gây sự tò mò, khiến người đọc muốn khám phá ngay lý do tại sao ông lại dùng từ vựng này theo cách chơi ngông với đời.

Tóm lại:

• Đảo ngữ trong các câu trên nhằm tạo ra sự nhấn mạnh, tăng cường tính hình ảnh và tạo sự nhịp điệu cho câu văn.
• Mỗi câu sử dụng đảo ngữ để gây ấn tượng mạnh mẽ, hướng sự chú ý của người đọc vào yếu tố quan trọng nhất trong câu, hoặc để làm câu văn trở nên đặc biệt và độc đáo hơn trong cách diễn đạt.

Tham khảo