Tham khảo

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng thông tin đã cho.

Bài toán:

• Bạn hiện tại 40 tuổi.
• Bạn kém mẹ 4 tuổi.

Vậy, tuổi mẹ bạn hiện tại sẽ là:

\(40 + 4 = 44 \textrm{ } \text{tu}ổ\text{i}\)

Vậy mẹ bạn sinh năm:

\(\text{N} \overset{ }{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{sinh}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{m}ẹ = 2025 - 44 = 1981\)

Kết luận:

Mẹ bạn sinh năm 1981.

Tham gia cuộc thi

Đáp án là 98

Tham khảo

Để giải bài toán này, ta cần tìm số lượng phân số mà chỉ sử dụng hai chữ số khác nhau trong các phân số được viết dưới dạng:

\(\frac{1}{98} , \frac{2}{97} , \frac{3}{96} , \ldots , \frac{98}{1}\)

Bước 1: Phân tích dãy phân số

Các phân số trong dãy có dạng:

\(\frac{1}{98} , \frac{2}{97} , \frac{3}{96} , \ldots , \frac{98}{1}\)

Ta thấy rằng các phân số này có tử số là các số từ 1 đến 98, và mẫu số là các số từ 98 đến 1. Cụ thể, phân số thứ \(i\) có tử số \(i\) và mẫu số \(99 - i\).

Vì vậy, ta có thể viết các phân số theo cặp như sau:

\(\frac{1}{98} , \frac{2}{97} , \frac{3}{96} , \ldots , \frac{98}{1}\)

Bước 2: Tìm các phân số chỉ sử dụng đúng hai chữ số khác nhau

Mỗi phân số có tử số và mẫu số là các số trong khoảng từ 1 đến 98. Để phân số này chỉ sử dụng hai chữ số khác nhau, tử số và mẫu số của phân số phải bao gồm đúng hai chữ số khác nhau.

Chúng ta sẽ xem xét các cặp số có tử số và mẫu số chỉ có hai chữ số khác nhau. Các cặp này có dạng \(\frac{x}{99 - x}\), trong đó \(x\) và \(99 - x\) phải có đúng hai chữ số khác nhau.

Bước 3: Xác định các cặp \(x\) và \(99 - x\)

Tử số và mẫu số là các số trong khoảng từ 1 đến 98. Để tìm các cặp số có đúng hai chữ số khác nhau, ta chỉ cần kiểm tra các giá trị của \(x\) sao cho \(x\) và \(99 - x\) có đúng hai chữ số khác nhau. Ta có thể thực hiện kiểm tra trực tiếp hoặc tính toán với các số cụ thể.

Bước 4: Đếm số lượng cặp

Sau khi kiểm tra các cặp, ta sẽ đếm được số lượng phân số chỉ sử dụng đúng hai chữ số khác nhau.

Tham khảo

Bước 1: Biến đổi phương trình

Ta sẽ bắt đầu bằng cách làm đơn giản phương trình. Đầu tiên, chuyển vế phải sang vế trái để tạo ra một phương trình bằng 0.

\(x - \frac{x}{1 - 2 \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right)} - 1 = 0\)

Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức trong mẫu số

Ta sẽ làm đơn giản biểu thức \(1 - 2 \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right)\) trong mẫu số.

\(1 - 2 \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) = 1 - 2 x^{2} + 2 x - 2 = - 2 x^{2} + 2 x - 1\)

Vậy phương trình trở thành:

\(x - \frac{x}{- 2 x^{2} + 2 x - 1} - 1 = 0\)

Bước 3: Đưa phương trình về một vế

Chúng ta tiếp tục đưa phương trình về dạng dễ giải hơn. Cộng \(1\) vào hai vế:

\(x - 1 = \frac{x}{2 x^{2} - 2 x + 1}\)

Bước 4: Nhân chéo

Bây giờ ta nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. 2 x^{2} - 2 x + 1 \left.\right) = x\)

Bước 5: Phân phối và rút gọn

Phân phối \(\left(\right. x - 1 \left.\right)\) vào biểu thức trong ngoặc:

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. 2 x^{2} - 2 x + 1 \left.\right) = x \left(\right. 2 x^{2} - 2 x + 1 \left.\right) - \left(\right. 2 x^{2} - 2 x + 1 \left.\right)\)\(= 2 x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 2 x - 1\)

Kết quả:

\(2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 1\)

Vậy phương trình trở thành:

\(2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 1 = x\)

Bước 6: Đưa phương trình về dạng chuẩn

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\(2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 1 - x = 0\)\(2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1 = 0\)

Bước 7: Kiểm tra nghiệm của phương trình

Bây giờ, ta sẽ thử tìm nghiệm của phương trình bậc 3 này. Ta có thể thử với các giá trị đơn giản của \(x\), như \(x = 1\), \(x = - 1\), hoặc sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc 3.

Thử \(x = 1\):

\(2 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} - 4 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. 1 \left.\right) - 1 = 2 - 4 + 2 - 1 = - 1 \neq 0\)

Thử \(x = - 1\):

\(2 \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} - 4 \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. - 1 \left.\right) - 1 = - 2 - 4 - 2 - 1 = - 9 \neq 0\)

Phương trình này có vẻ khó giải bằng cách thử nghiệm trực tiếp, vậy nên chúng ta có thể sử dụng phương pháp khác như phương pháp phân tích hoặc công cụ giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm chính xác.

Tham khảo

Để chứng minh rằng biểu thức \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 6 với \(n \in \mathbb{Z}\), ta cần chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 2 và 3, vì một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho cả 2 và 3.

Bước 1: Chia hết cho 2

Ta cần chứng minh rằng \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 2.

Xét biểu thức:

\(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\)

Chia nó thành hai phần:

• Phần thứ nhất: \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chắc chắn chia hết cho 2 vì có yếu tố 2.
• Phần thứ hai: \(n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) là tích của hai số liên tiếp. Một trong hai số này chắc chắn chia hết cho 2, nên \(n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 2.

Do đó, cả hai phần của biểu thức đều chia hết cho 2, nên tổng \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 2.

Bước 2: Chia hết cho 3

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.

Xét biểu thức:

\(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\)

Ta sẽ xét các trường hợp với \(n m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\) (tức là \(n\) chia cho 3 có dư 0, 1 hoặc 2).

Trường hợp 1: \(n \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

• Khi \(n \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta có \(n = 3 k\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
• Biểu thức trở thành:
  \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right) = 2 \left(\right. 3 k \left.\right)^{2} \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) + \left(\right. 3 k \left.\right) \left(\right. 3 k + 1 \left.\right)\)
  Vì \(n = 3 k\), ta thấy cả hai phần của biểu thức đều chia hết cho 3, do đó \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\)chia hết cho 3.

Trường hợp 2: \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

• Khi \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta có \(n = 3 k + 1\).
• Biểu thức trở thành:
  \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right) = 2 \left(\right. 3 k + 1 \left.\right)^{2} \left(\right. 3 k + 2 \left.\right) + \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) \left(\right. 3 k + 2 \left.\right)\)
  Ta có thể tính chi tiết từng phần, nhưng vì \(\left(\right. 3 k + 1 \left.\right) \left(\right. 3 k + 2 \left.\right)\) luôn chia hết cho 3, nên \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.

Trường hợp 3: \(n \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

• Khi \(n \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta có \(n = 3 k + 2\).
• Biểu thức trở thành:
  \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right) = 2 \left(\right. 3 k + 2 \left.\right)^{2} \left(\right. 3 k + 3 \left.\right) + \left(\right. 3 k + 2 \left.\right) \left(\right. 3 k + 3 \left.\right)\)
  Cũng như các trường hợp trên, \(\left(\right. 3 k + 2 \left.\right) \left(\right. 3 k + 3 \left.\right)\) chia hết cho 3, do đó \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.

Kết luận:

Vì biểu thức \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6 với mọi \(n \in \mathbb{Z}\).