a) \(\Delta A B E , \Delta A C F\) có \(\hat{A}\) chung và \(\hat{A E B} = \hat{A F C} \left(\right. = 9 0^{o} \left.\right)\) nên suy ra \(\Delta A B E \&\text{nbsp}; \Delta A C F \left(\right. g . g \left.\right)\) \(\Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F} \Rightarrow A B . A F = A C . A E\).

b) Từ \(A B . A F = A C . A E \Rightarrow \frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C}\). Từ đó suy ra \(\Delta A E F \&\text{nbsp}; \Delta A B C \left(\right. c . g . c \left.\right)\) \(\Rightarrow \hat{A F E} = \hat{A C B}\)

c) Xét tam giác AEF có \(C \in A E , B \in A F , K \in E F\) và \(K , B , C\) thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus, ta có \(\frac{K F}{K E} . \frac{C E}{C A} . \frac{B A}{B F} = 1\)  (1).

 Mặt khác, cũng trong tam giác AEF, có \(C \in A E , B \in A F , I \in E F\) và AI, EB, FC đồng quy nên theo định lý Ceva, \(\frac{I F}{I E} . \frac{C E}{C A} . \frac{B A}{B F} = 1\)   (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(\frac{K F}{K E} = \frac{I F}{I E} \Leftrightarrow K F . I E = K E . I F\)

Gọi x (h) là thời gian người đó đi từ thành phố về quê (x > 0)

20 phút = 1/3 h

Thời gian người đó đi từ quê lên thành phố là: x + 1/3 (h)

Quãng đường đi từ thành phố về quê: 30x (km)

Quãng đường đi từ quê lên thành phố: 25(x + 1/3) (km)

Theo đề bài, ta có phương trình:

30x = 25(x + 1/3)

30x = 25x + 25/3

30x - 25x = 25/3

5x = 25/3

x = 25/3 : 5

x = 5/3 (nhận)

Vậy quãng đường từ thành phố về quê là: 30 . 5/3 = 50 km