1​+b1​+c1​+ab1​+bc1​+ca1​=6. (1)

Ta có \(\left(\right. \frac{1}{a} - 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)

\(\frac{1}{a^{2}} + 1 \geq \frac{2}{a}\) nên 

\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3\) (2)

Lại có \(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b}\) nên 

\(2 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} \left.\right)\) (3)

Cộng (2) và (3) theo vế  và sử dụng (1)  ta có    

\(3 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3 = 2.6 - 3 = 9\) 

Suy ra \(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3\).

Ta có \(x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + x y + 1 - x - y\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. y - 1 \left.\right) \geq 0\)                       

(do \(a^{2} + a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0\))

Cho \(a\), \(b\), \(c\) là ba số dương thay đổi luôn có tổng bằng \(3\). Chứng minh rằng \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2}} \&\text{nbsp}; \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Trương tự \(\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\) và \(\sqrt{c^{2} - c a + c a} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right)\).

Từ đó \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b + b + c + c + a \left.\right)\)

\(= \left(\right. a + b + c \left.\right) = 3\)                                                                           

Vậy \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{a + b + c}{3} = 1\).

 Có \(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 a - b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left{\right. & b = 0 \\ & 2 a - b = 0\) 

hay \(a = b = 0\).

2) Có \(a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} \left.\right)\)

\(= \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

nếu x < 1 x<1 thì x 8 − x 7 + x 2 − x + 1 x 8 −x 7 +x 2 −x+1 = x 8 + x 2 ( 1 − x 5 ) + ( 1 − x ) > 0 =x 8 +x 2 (1−x 5 )+(1−x)>0. x ≥ 1 x≥1 thì x 8 − x 7 + x 2 − x + 1 x 8 −x 7 +x 2 −x+1 = x 7 ( x − 1 ) + x ( x − 1 ) + 1 > 0 =x 7 (x−1)+x(x−1)+1>0.

1. • x+y−z≥0x plus y minus z is greater than or equal to 0𝑥+𝑦−𝑧≥0