x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y) \ge 0z \ge y \

x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y) \ge 0

với mọi z \ge y \ge x \ge 0.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các bất đẳng thức trên đều đạt đẳng thức, tức khi

p=q=r=1, hay a=b=c=1. 

Ta chứng minh trực tiếp bằng cách đặt

u=x-1,\; v=y-1. Khi đó

\begin{aligned} x^{2}+y^{2}+xy-3x-3y+3 &=(u+1)^2+(v+1)^2+(u+1)(v+1)-3(u+1)-3(v+1)+3\\[4pt] &=u^2+v^2+uv. \end{aligned}

Bây giờ viết

u^2+uv+v^2=\Bigl(u+\tfrac{v}{2}\Bigr)^2+\tfrac{3}{4}v^2\ge0,

vì tổng hai bình phương không âm. Do đó với mọi x,y\in\mathbb{R} ta có

x^{2}+y^{2}+xy-3x-3y+3\ge0.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cả hai bất đẳng thức trên đều đạt đẳng thức, tức khi a=b=c và a+b+c=3. Do đó đẳng thức khi a=b=c=1. 

Vậy a^2-ab+b^2\ge\tfrac14(a+b)^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=0, tức khi a=b.

Vậy a^2-ab+b^2\ge\tfrac14(a+b)^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=0, tức khi a=b.

Vậy a^2-ab+b^2\ge\tfrac14(a+b)^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=0, tức khi a=b.

Vậy a^2-ab+b^2\ge\tfrac14(a+b)^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=0, tức khi a=b.

Vậy a^2-ab+b^2\ge\tfrac14(a+b)^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=0, tức khi a=b.

Vậy a^2-ab+b^2\ge\tfrac14(a+b)^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=0, tức khi a=b.