Với mọi số thực x:

x^8 - x^7 + x^2 - x + 1 > 0.

\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \ge \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b},

với mọi a, b, c \ne 0.

x = y = z \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \Rightarrow a = b = c.

Với mọi x, y > 2, ta có:

x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4 > x^2 + y^2.

vì với x = y > 2, vế trái = x^4 > x^2 + x^2 = 2x^2, hiển nhiên lớn hơn).

\left(1 + \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{y}\right) = 1 + \frac{2}{xy} \ge 1 + 2 \cdot 4 =

\boxed{\left(1 + \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{y}\right) \ge 9,}x = y = \frac{1}{2}.

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + 1 \ge 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}.

u = 1.25 \Rightarrow t^2 = 1.25 \Rightarrow t = \pm \sqrt{1.25}.

Tức là:

x = 2.5 \pm \sqrt{1.25} = 2.5 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}.

Vì 4x^8 - 2x^7 + x^6 - 3x^4 + x^2 - x + 1 > 0 với mọi x \in \mathbb{R},

nên bất đẳng thức đúng với mọi số thực x.

\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \ge 3.

x = y = 1.

x^2 + y^2 + xy - 3x - 3y + 3 \ge 0,

với mọi x, y \in \mathbb{R}.

Từ bất đẳng thức đã làm ở bài trước ta có cho mọi x,y

x^2-xy+y^2 \ge \frac14(x+y)^2.

Do đó với các cặp (a,b),(b,c),(c,a) ta được

\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge \frac{a+b}{2},\qquad \sqrt{b^2-bc+c^2}\ge \frac{b+c}{2},\qquad \sqrt{c^2-ca+a^2}\ge \frac{c+a}{2}.

Cộng ba bất đẳng thức trên:

\sum_{\text{cyc}}\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge \frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{2}=\frac{2(a+b+c)}{2}=a+b+c.

Vì a+b+c=3 nên

\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge 3.

Điều kiện xảy ra dấu = khi và chỉ khi a=b=c=1 

Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=0.