a) CHỨNG MINH TỨ GIÁC AHCK LÀ HÌNH BÌNH HÀNH. TA CÓ AH VUÔNG GÓC VỚI BD VÀ CK VUÔNG GÓC VỚI BD, SUY RA AH // CK. XÉT TAM GIÁC AHD VÀ TAM GIÁC CKB, TA CÓ :

- GÓC AHD = GÓC CKB = 90 ĐỘ

- AD = BC ( TÍNH CHẤT HÌNH BÌNH HÀNH )

- GÓC ADH = GÓC CBK ( SO LE TRONG, AD // BC ). VẬT TAM GIÁC AHD = TAM GIÁC CKB ( CẠNH HUYỀN - GÓC NHỌN ). SUY RA AH =CK. TỨ GIÁC AHCK CÓ AH // CK VÀ AH = CK, NÊN AHCK LÀ HÌNH BÌNH HÀNH.

b) CHỨNG MINH IB = ID. GỌI O LÀ GIAO ĐIỂM CỦA AC VÀ BD. VÌ ABCD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH NÊN O LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC VÀ BD. VÌ AHCK LÀ HÌNH BÌNH HÀNH NÊN I LÀ TRUMG ĐIỂM CỦA AC. DO ĐÓ O TRÙNG VỚI I. VẬY I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BD, SUY RA IB = ID.

a) CHỨNG MINH EBFD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH. VÌ ABCD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH NÊN AD // BC VÀ AD = BC. E LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AD NÊN ED = AD/2. F LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC NÊN BF = BC/2. SUY RA ED = BF ( VÌ AD = BC ). VÌ AD // BC NÊN FD // BF. TỨ GIÁC EBFD CÓ ED // BF VÀ ED = BF NÊN EBFD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH.

b) CHỨNG MINH E, O, F THẰNG HÀNG. VÌ ABCD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH NÊN O LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC VÀ BD. VÌ EBFD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH NÊN TRUNG ĐIỂM CỦA EF TRÙNG VỚI TRUNG ĐIỂM CỦA BD. MÀ O LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BD NÊN O CŨNG LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA EF. VẬY E, O, F THẲNG HÀNG.

XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ ĐÃ CHO VÀ MỤC TIÊU CẦN CHỨNG MINH :

- CHO TAM GIÁC ABC

- BM VÀ CN LÀ HAI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC ABC, GIAO NHAU TẠI G ( TRỌNG TÂM ).

P VÀ Q LẦN LƯỢT LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA GB VÀ GC.

- M VÀ N LẦN LƯỢT LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC VÀ AB ( VÌ BM VÀ CN LÀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN ).

- MỤC TIÊU : CHỨNG MINH TỨ GIÁC PQMN LÀ HÌNH BÌNH HÀNH.

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TRONG TAM GIÁC :

- XÉT TAM GIÁC GBC, TA CÓ P LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA GB VÀ Q LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA GC. DO ĐÓ PQ LÀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC GBC.

- THEO TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH, PQ SONG SONG VỚI BC VÀ PQ = 1/2 BC.

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH, NM SONG SONG VỚI BC VÀ NM = 1/2 BC.

SO SÁNH VÀ KẾT LUẬN :

- TA CÓ PQ SONG SONG VỚI BC VÀ NM SONG SONG VỚI BC, SUY RA PQ SONG SONG VỚI NM.

- TA CÓ PQ = 1/2 BC VÀ NM = 1/2 BC, SUY RA PQ = NM.

- VÌ TỨ GIÁC PQNM CÓ MỘT CẶP CẠNH ĐỐI VỪA SONG SONG VỪA BẰNG NHAU ( PQ SONG SONG VỚI NM VÀ PQ = NM ), NÊN TỨ GIÁC PQNM LÀ HÌNH BÌNH HÀNH.

a) chứng minh AEFD là hình bình hành. vì B là trung điểm của AE nên AB = BE. vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD. suy ra BE =CD và be // CD. do đó, tứ giác BECD là hình bình hành. vì C là trung điểm của DF nên CD = CF. suy ra CD = CF = AB. vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. vì C là trung điểm của DF nên DC = CF. do đó, DF =2DC = 2AB. vì AB = BE nên AE = 2AB. suy ra AE = DF. vì BECD là hình bình hành nên DE // BC và DE = BC. vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC. suy ra AD // DE và AD = DE. do đó, AEFD là hình bình hành.

chứng minh tứ giác ABFC là hình bình hành. vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD. vì C là trung điểm của DF nên CD = CF. suy ra AB = CF. vì CD // AB nên CF // AB. do đó, ABFC là hình bình hành.

b) chứng minh các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE ,BC trùng nhau. gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AF , DE , BC. vì AEFE là hình bình hành nên AD // EF và AD =EF. vì ABFC là hình bình hành nên AF // BC và AF = BC. xét tam giác ADF, M là trung điểm của AF, C là trung điểm của DF nên MC là đường trung bình của tam giác ADF. suy ra MC // AD và MC = 1/2 AD. vì AD // BC và AD = BC nên MC // BC và MC = 1/2 BC. vì P là trung điểm của BC nên BP = PC =1/2 BC. suy ra MC = PC. vì MC // PC nên M, P,C thẳng hàng và M là trung điểm của PC. vì BECD là hình bình hành nên BC // DE và BC = DE. vì N là trung điểm của DE, P là trung điểm của BC nên DN = 1/2 DE và BP = 1/2 BC. suy ra DN = BP. vì BC // DE nên DN // BP. do đó, tứ giác BPDN là hình bình hành. suy ra DP // BN và DP = BN. xét tam giác AFD, M là trung điểm của AF, C là trung điểm của DF nên MC là đường trung bình của tam giác ADF. suy ra MC // AD và MC = 1/2 AD. vì AD // BC và AD = BC nên MC // BC và MC = 1/2 BC. vì P là trung điểm của BC nên BP = PC =1/2 BC. suy ra MC = PC. vì MC // BC và MC = PC nên M, P, C thẳng hàng và M là trung điểm của PC. vậy M, N, P trùng nhau.

chứng minh tam giác OAM = tam giác OCN. vì ABCD là hình bình hành, nên O là trung điểm của AC và BD. do đó, OA = OC. góc OAM = góc OCN ( hai góc so le trong, vì AB // CD ). góc OAM = góc CON ( hai góc đối đỉnh ). vậy tam giác OAM = tam giác OCN ( g.c.g )

chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành. vì tam giác OAM = tam giác OCN ( chứng minh trên ), nên AM = CN. ta có : AB = CD ( tính chất hình bình hành ). suy ra : MB = AB - AM = CD - CN = DN. vì ABCD là hình bình hành, nên AB // CD, suy ra MB // DN. tứ giác MBND có MB // DN và MB = DN, nên MBND là hình bình hành.

a) chứng minh AEFD là hình bình hành. vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD. do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = 1/2 AB và DF = 1/2 CD. suy ra AE = DF. tứ giác AEFD có AE // DF và AE = DF nên AEFD là hình bình hành.

chứng minh AECF là hình bình hành. tương tự như trên, vì ABCD là hình bình hành AB // CD và AB = CD. do E, F lần lượt lượt là trung điểm của AB, CD nên BE = 1/2 AB và CF = 1/2 CD. suy ra BE = CF. vì AB // CD nên BE // CF hay AE // CF và AE = CF nên AECF là hình bình hành.

b) chứng minh EF = AD, AF = EC. vì AEFD là hình bình hành ( chứng minh trên ) nên EF = AD. vì AECF là hình bình hành ( chứng minh trên ) nên AF = EC.