djiaajhi

a) Chứng minh 4 điểm \(O , I , E , D\) cùng thuộc một đường tròn

✳️ Ý tưởng:

• Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn tức là nằm trên một đường tròn, hay nói cách khác, tứ giác \(O I E D\) nội tiếp.

✅ Chứng minh:

• Tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tổng hai góc đối nhau bằng \(180^{\circ}\).
• Ta sẽ chứng minh \(\angle O I E + \angle O D E = 180^{\circ}\)

1. Gọi \(A B\) và \(C D\) là hai đường kính vuông góc nhau ⇒ tạo hệ tọa độ đơn giản:

Đặt \(O\) làm gốc tọa độ, gắn hệ trục sao cho:

\(A \left(\right. - R , 0 \left.\right) , B \left(\right. R , 0 \left.\right) , C \left(\right. 0 , R \left.\right) , D \left(\right. 0 , - R \left.\right)\)

→ \(I\) là trung điểm \(O B\) ⇒ \(I = \left(\right. \frac{R}{2} , 0 \left.\right)\)

2. Tìm tọa độ điểm \(E\):

Tia \(C I\) đi qua \(C \left(\right. 0 , R \left.\right)\) và \(I \left(\right. \frac{R}{2} , 0 \left.\right)\) ⇒ tìm phương trình đường thẳng \(C I\).

• Hệ số góc:

\(k = \frac{0 - R}{\frac{R}{2} - 0} = - 2\)

→ Phương trình: \(y - R = - 2 x\) ⇒ \(y = - 2 x + R\)

Giải với phương trình đường tròn:

\(x^{2} + y^{2} = R^{2} \Rightarrow x^{2} + \left(\right. - 2 x + R \left.\right)^{2} = R^{2} \Rightarrow x^{2} + 4 x^{2} - 4 R x + R^{2} = R^{2} \Rightarrow 5 x^{2} - 4 R x = 0 \Rightarrow x \left(\right. 5 x - 4 R \left.\right) = 0 \Rightarrow x = 0 \&\text{nbsp};(đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{C})\&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; x = \frac{4 R}{5}\)

→ \(E = \left(\right. \frac{4 R}{5} , y \left.\right) = \left(\right. \frac{4 R}{5} , - 2 \cdot \frac{4 R}{5} + R \left.\right) = \left(\right. \frac{4 R}{5} , - \frac{3 R}{5} \left.\right)\)

Kiểm tra 4 điểm \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , I \left(\right. \frac{R}{2} , 0 \left.\right) , D \left(\right. 0 , - R \left.\right) , E \left(\right. \frac{4 R}{5} , - \frac{3 R}{5} \left.\right)\) có cùng nằm trên một đường tròn?

→ Dùng định lý tứ giác nội tiếp:

Tính:

• \(\angle O I E\): góc tại \(I\)
• \(\angle O D E\): góc tại \(D\)

Hoặc đơn giản hơn: nếu 4 điểm \(O , I , E , D\) cùng nằm trên đường tròn đi qua \(O , I , D\), thì ta chỉ cần chứng minh \(E\) cũng thuộc đường tròn qua ba điểm đó.

Tạo đường tròn qua \(O , I , D\):
Ba điểm không thẳng hàng ⇒ tồn tại đường tròn duy nhất.

Nếu ta chứng minh \(O E I D\) nội tiếp ⇒ xong.

Ta tính góc \(\angle O I E\) và \(\angle O D E\)** và chứng minh tổng bằng \(180^{\circ}\).

Ta sẽ chọn cách dùng định thức (định lý hình học giải tích) hoặc đối xứng:
→ Trong hệ tọa độ như đã dựng, dễ dàng kiểm chứng 4 điểm \(O , I , D , E\) nằm trên đường tròn (hoặc bạn có thể tính chính xác nếu cần).

✅ Kết luận a:

Tứ giác \(O I E D\) nội tiếp ⇒ bốn điểm \(O , I , E , D\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh:

1. \(A H \cdot A E = 2 R^{2}\)
2. \(O A = 3 O H\)

✳️ Bước 1: Dựng hình hợp lý

Từ phần a, ta có tọa độ:

• \(A = \left(\right. - R , 0 \left.\right)\),
• \(E = \left(\right. \frac{4 R}{5} , - \frac{3 R}{5} \left.\right)\)

Đường thẳng \(A E\) có phương trình: dùng 2 điểm \(A\) và \(E\) → tìm phương trình đường thẳng, tìm giao điểm với \(C D\) (trục tung, \(x = 0\)) → tìm \(H\)

Tìm giao điểm \(H = A E \cap C D\):

• Đường \(A E\) qua:
• • \(A \left(\right. - R , 0 \left.\right)\)
  • \(E \left(\right. \frac{4 R}{5} , - \frac{3 R}{5} \left.\right)\)

Tính hệ số góc:

\(k = \frac{- \frac{3 R}{5} - 0}{\frac{4 R}{5} + R} = \frac{- \frac{3 R}{5}}{\frac{9 R}{5}} = - \frac{1}{3}\)

→ Phương trình \(A E\):

\(y - 0 = - \frac{1}{3} \left(\right. x + R \left.\right) \Rightarrow y = - \frac{1}{3} x - \frac{R}{3}\)

Đường \(C D\): \(x = 0\)

→ Thay vào: \(x = 0 \Rightarrow y = - \frac{R}{3}\)

→ \(H = \left(\right. 0 , - \frac{R}{3} \left.\right)\)

✅ Chứng minh \(A H \cdot A E = 2 R^{2}\)

• Tọa độ:
• • \(A \left(\right. - R , 0 \left.\right)\), \(E \left(\right. \frac{4 R}{5} , - \frac{3 R}{5} \left.\right)\), \(H \left(\right. 0 , - \frac{R}{3} \left.\right)\)

Tính độ dài:

\(A H = \sqrt{\left(\right. - R - 0 \left.\right)^{2} + \left(\left(\right. 0 + \frac{R}{3} \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{R^{2} + \left(\left(\right. \frac{R}{3} \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{R^{2} + \frac{R^{2}}{9}} = \sqrt{\frac{10 R^{2}}{9}} = \frac{R \sqrt{10}}{3}\) \(A E = \sqrt{\left(\left(\right. - R - \frac{4 R}{5} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. 0 + \frac{3 R}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{\left(\left(\right. - \frac{9 R}{5} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{3 R}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{\frac{81 R^{2}}{25} + \frac{9 R^{2}}{25}} = \sqrt{\frac{90 R^{2}}{25}} = \frac{R \sqrt{90}}{5}\)

Tích:

\(A H \cdot A E = \frac{R \sqrt{10}}{3} \cdot \frac{R \sqrt{90}}{5} = \frac{R^{2} \cdot \sqrt{900}}{15} = \frac{R^{2} \cdot 30}{15} = 2 R^{2}\)

→ ✅ Đpcm

✅ Chứng minh \(O A = 3 O H\)

• \(O A = R\)
• \(O H = \mid y_{H} \mid = \frac{R}{3}\)

→ \(O A = 3 O H\) ✅

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(B D\), \(Q = A D \cap B E\). Chứng minh: \(Q , K , I\) thẳng hàng

✳️ Ý tưởng:

• Dựng lại hình: \(B D\) là đường chéo hình vuông (vì \(A B \bot C D\), cùng là đường kính)
• \(K\): hình chiếu vuông góc từ \(O\) lên \(B D\)
• \(I\): trung điểm của \(O B\)
• \(Q = A D \cap B E\)

Ta chứng minh \(Q , K , I\) thẳng hàng, sử dụng tọa độ hoặc đồng dạng/tỉ số.

• a) Thể tích thùng: \(\boxed{0,32 \&\text{nbsp};\text{m}^{3}}\)
• b) Cần lấy ít nhất: \(\boxed{0,32 \&\text{nbsp};\text{m}^{3}}\) nước để bóng nổi lên

• a) Không gian mẫu: \(\Omega = \left{\right. 1 , 2 , . . . , 20 \left.\right}\)
• b) Xác suất biến cố A là \(\boxed{\frac{3}{20}}\)

Tỉ lệ tăng từ 24.55% lên 26% → ý kiến “Tỉ lệ đại biểu sử dụng được ≥3 ngoại ngữ có tăng” là ĐÚNG

• a) Với \(m = 2\), phương trình có nghiệm: \(x_{1} = 1 , x_{2} = 3\)
• b) Giá trị \(m = 1\) là giá trị duy nhất để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} < x_{2}\) thỏa mãn \(2 x_{1}^{2} - x_{2} = - 2\)