Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\).

Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\)

\(\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B M\); \(C G = \frac{2}{3} C N\)

\(\Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G\); \(C N = \frac{3}{2} C G\).

Do đó ta phải chứng minh \(\frac{3}{2} B G + \frac{3}{2} C G > \frac{3}{2} B C\) hay \(B G + C G > B C\). (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy \(B M + C N > \frac{3}{2} B C\). (điều phải chứng minh).

Ta có D thuộc phân giác góc A

DH vuông AB,DK vuông AC=>DH=DK(tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi G là trung điểm của BC

Xét tam giác BGD và tam giác CGD có

góc BGD=CGD=90 độ (DG là trung trực của BC),

BG=CG (giả thiết),

DG là cạnh chung.

Do đó tam giác BGD=tam giác CGD (hai cạnh góc vuông)

nên BD=CD (hai cạnh tương ứng).

Xét  tam giác BHD=tam giác CGD có

góc BHD= góc CGD (giả thiết);

DH=DK (chứng minh trên);

BD=CD (chứng minh trên).

nên BH=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có D thuộc phân giác góc A

DH vuông AB,DK vuông AC=>DH=DK(tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi G là trung điểm của BC

Xét tam giác BGD và tam giác CGD có

góc BGD=CGD=90 độ (DG là trung trực của BC),

BG=CG (giả thiết),

DG là cạnh chung.

Do đó tam giác BGD=tam giác CGD (hai cạnh góc vuông)

nên BD=CD (hai cạnh tương ứng).

Xét  tam giác BHD=tam giác CGD có

góc BHD= góc CGD (giả thiết);

DH=DK (chứng minh trên);

BD=CD (chứng minh trên).

nên BH=CK(hai cạnh tương ứng)

Ta có D thuộc phân giác góc A

DH vuông AB,DK vuông AC=>DH=DK(tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi G là trung điểm của BC

Xét tam giác BGD và tam giác CGD có

góc BGD=CGD=90 độ (DG là trung trực của BC),

BG=CG (giả thiết),

DG là cạnh chung.

Do đó tam giác BGD=tam giác CGD (hai cạnh góc vuông)

nên BD=CD (hai cạnh tương ứng).

Xét  tam giác BHD=tam giác CGD có

góc BHD= góc CGD (giả thiết);

DH=DK (chứng minh trên);

BD=CD (chứng minh trên).

nên BH=CK(hai cạnh tương ứng)