Ta có DM bằng DG suy ra GM bằng 2GD

Ta có G là giao điểm của BD và CE suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra BG bằng 2GD

Suy ra BG bằng GM

Chứng minh tương tự ta được CG bằng GN

b) xét tam giác GMN và tam giác GBC có

GM bằng GB (cmt)

Góc MGN bằng góc BGC (hai góc đối đỉnh)

GN bằng GC (cmt)

Do đó tam giác GMN bằng tam giác GBC (c.g.c)

Suy ra MN bằng BC (hai cạnh tương ứng)

Theo cmt tam giác GMN bằng tam giác GBC (c.g.c)

Suy ra góc NMG bằng góc CBG(gai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí hai góc sole trong nên MN // BC

Ta có BF bằng 2BE (gt) suy ra BE bằng EF

Mà BE bằng 2 ED nên EF bằng 2ED

Do đó ED bằng DF

Suy ra D là trung điểm của tam giác CEF

Khi đó CD là đường trung tuyến của tam giác CEF

Vì K là trung điểm củaCF( gt)

Nên EK cũng là đường trung tuyến của tam giác CEF

Tam giác CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G

Khi đó G là trọng tâm của tam giác CEF

b) GE/GK bằng 2/3

GC/DC bằng 2/3

Xét tam giác ABD có C là trung điểm của anhm AD suy ra BC là trung tuyến của tam giác ABD

Ta có G thuộc BC và GB bằng 2GC suy ra GB bằng 2/3 BC suy ra G là trọng tâm của tam giác ABD

Có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD (vid E là trung điểm của BD ) nên ba điểm A , G , E thẳng hàng

Vậy ba điểm A ,G , E thẳng hàng

b) ta có G là trọng tâm của tam giác ABD suy ra DG là đường trung tuyến của tam giác này suy ra DG đi qua trung điểm của canh AB

a) D Là trung điểm của AC nên AD =1/2 AC

E là trung điểm của AB nên AE = 1/2 AB

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Suy ra AE =AD

Xét tam giác ADB và tam giác AEC có

AB=AC (cmt)

Góc BAC là góc chung

AE = AD (cmt)

Suy ra tam giác ADB = Tam giác AEC (c.g.c)

Suy ra BD=CE

b) G là trọng tâm của tqm giác ABC nên BG bằng 2/3 BD và CG bằng 2/3 CE

Mà BD bằng CE (do tqm giác ADB bằng tam giác AEC )

Nên BG bằng CG

Dó tam giác GBC cân

c)G là trọng tâm của tam giác ABC nên GD bằng 1/2 GC

Do đó GD + GE bằng 1/2 (GB + GC)

Mặt khác BG + CG >BC

Suy ra GD + GE > 1/2 BC

Xét tam giác ABC có

BM là đường trung tuyến

CN là đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

Do đó G là trọng tâm

Suy ra BG =2/3 BM CG= 2/3 CN

Vậy BM+CN=2/3 BG + 2/3 CG lớn hơn 2/3 BC