Gọi O = AC ∩ BD

SO vuông góc (ABCD). Gọi H trung điểm của OD.

Xét ASOD, MH là đường trung bình

⇒ MH//SO⇒ MH vuông góc (ABCD).

Hình chiếu của đường thẳng BM trên mặt phẳng (ABCD) là BH.

Góc (BM; (ABCD)) =góc (BM; BH)= góc MBH

Xét tam giác vuông ABD có

BD =√(AB ^ 2 + A D ^ 2) = √((2a) ^ 2 + (2a) ^ 2) = 2√(2) * a

==> BH = 3/4 * BD = 3 √2 / 2 và OD= 1/2 * BD = √2 a

Xét tam giác vuông SOD có:

SO = √(SD ^ 2 - OD ^ 2) = √((2a) ^ 2 - ((2) * a) ^ 2) = √(2) * a

=>MH = 1/2 * SO = √((2) * a)/2

Ta có: tan góc MBH = (MH)/(BH) = (a * √(2)/2/((3√(2) * a)/2

Xét tam giác vuông SOD có:

SO = √(SD ^ 2 - OD ^ 2)

= √((2a) ^ 2 - (√(2) * a) ^ 2)

= √(2) * a

==>MH = 1/2 * SO = (√(2) * a)/2

Ta có: tan góc MBH = (MH)/(BH) = (a * √(2))/2/((3√(2) * a)/2) = 1/3

Gọi A là số tiền tối đa có thể vay, Ai là số nợ sau tháng thứ 2. (đơn vị: triệu đồng)

r1= 5%/12 là lãi suất/1 tháng, trong 6 tháng đầu

r2= 12%/12 = 1% là lãi suất/1 tháng, từ tháng thứ 7 trở đi

Sau 1 tháng, số tiền gốc và lãi là A(1 + r) người đó trả 15 triệu nên còn nợ:

A1 = A(1 + r) - 15

Sau tháng thứ 2:

A2 = A1(1 + r1) - 15

= (A(1 + r1) - 15)(1 + r1) - 15 = A * (1 + r1) ^ 2 - 15/r_1 * [(1 + r_1) ^ 2 - 1]

Sau tháng thứ 3:

A3= A * (1 + r1) ^ 3 - 15/r1* [(1 + r1) ^ 3 - 1

Sau tháng thứ 6:

A6 = A * (1 + r1) ^ 6 - 15/r1* [(1 + r1) ^ 6 - 1]

Sau tháng thứ7:

A7= A6(1 + r6) - 15

Sau tháng thứ 8:

A 8 = A6 * (1 + r2) ^ 2 - 15/r2 * [(1 + r2) ^ 2 - 1]

Sau tháng thứ 240 (sau đúng 20 năm):

A240 = A6 * (1 + r3) ^ 234 - 15/r2 * [(1 + r2) ^ 234 - 1]

Vì phải trả hết nợ sau 20 năm nên:

A240 = 0

<=> A6 = 15 [(1+2)^234-1] / (1+r2)^234*r2 ≈ 1353, 819328 (1+r2)

=> A = A6 + 15/r1 [(1+r1)^6 - 1] / (1+r1)^6 ≈ 1409,163992

Vậy người này có thể mua được căn nhà có giá trị tối đa là A/85% ≈ 1657, 83999 triệu đồng ≈ 1,65784 tỷ đồng.